Unidades CGS para Magnetismo

La forma natural de escribirlo en esta notación es

$$F = q(E + \beta \times B)$$

dónde$\beta$es la velocidad medida en unidades naturales - la velocidad como una fracción de la velocidad de la luz.

En el sistema CGS, en cambio, escribimos$\beta = \frac{v}{c}$y la ecuación se convierte en

$$F = q(E + \frac{v}{c} \times B)$$

Sin embargo, eso no es lo suficientemente tonto, así que nos volvemos locos e inventamos dos nuevas constantes y les damos nombres oscuros: "permitividad del espacio libre" ($\epsilon_0$) y "permeabilidad del espacio libre" ($\mu_0$) y relacionarlos así$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$.

Si ahí es donde terminó la ecuación sería

$$F = q(E + v \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} \times B)$$

Pero eso todavía no sería lo suficientemente tonto. En su lugar, decidimos inventar un nuevo campo magnético dado por$B' = \sqrt{\mu_0/4\pi} B$y un nuevo campo eléctrico dado por$E' = \frac{E}{\sqrt{4\pi \epsilon_0}}$. Esto nos daría la nueva fórmula.

$$F = q(\sqrt{4\pi \epsilon_0}E' + v \times \sqrt{4\pi \epsilon_0} B')$$

pero tenemos que ser más tontos, así que definimos una nueva medida de carga por$q' = q\sqrt{4\pi\epsilon_0}$. Por fin conseguimos

$$F = q'(E' + v \times B')$$

y ahí tienes la ley de fuerza SI Lorentz. Entonces, la respuesta es que la velocidad de la luz aparece solo debido a formas complicadas de cambiar las unidades.

Es un poco instructivo observar las densidades de energía de los campos. En las unidades originales son solo$\frac{E^2}{8\pi}$y$\frac{B^2}{8\pi}$. Pero hicimos un montón de cambios de unidades, por lo que estos se convierten en$\frac{4\pi \epsilon_0 E'^2}{8\pi} = \frac{\epsilon_0 E'^2}{2}$y$\frac{4\pi B'^2}{8 \pi\mu_0} = \frac{B'^2}{2\mu_0}$

Entonces, el costo de hacer que la velocidad de la luz desaparezca en la ley de fuerza de Lorentz es que captamos estos extraños$\mu_0$y$\epsilon_0$constantes que ocultan la velocidad de la luz y dan vueltas a través de todas las fórmulas subsiguientes.

Hay una discusión bastante dulce y completa sobre esto en este conjunto de notas de Littlejohn. Básicamente, los campos$\vec{E}, \vec{B},\vec{H}$y$\vec{D}$tienen las mismas unidades en el sistema cgs. El análisis dimensional simple muestra que la ecuación SI habitual

$$\vec F=q(\vec E+\vec v \times \vec B) \qquad \stackrel{\hbox{cgs}}{\Rightarrow} \qquad \vec F=q\left(\vec E+\frac{\vec v}{c} \times \vec B\right) \tag{1}$$ si la ecuación de la derecha (en unidades cgs) debe permanecer dimensionalmente consistente. En principio, la cantidad$c$con unidades$M T^{-1}$que debe aparecer en (1) por homogeneidad dimensional podría ser cualquier velocidad aunque está relacionada con las cantidades del SI$\epsilon_0$y$\mu_0$en el vacío por $$c=k/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\, .$$ La elección$k=1$se deduce de la observación experimental que las ondas electromagnéticas en el vacío viajan a esa velocidad.

La elección de las unidades de los campos -bueno, de hecho, de las unidades de carga eléctrica y polos magnéticos- se discute extensamente en este artículo bastante antiguo pero aún relevante.

RT Birge, Sobre unidades y dimensiones eléctricas y magnéticas , American Journal of Physics, mayo de 1934, págs. 41-48.

(Birge en realidad tiene una serie de artículos sobre este tema en las primeras ediciones de Am.J.Phys.)

Birge muestra que uno puede definir consistentemente la fuerza eléctrica usando

$$F=\frac{q_1q_2}{r^2}$$ que da las unidades de$q$como$M^{1/2}L^{3/2}T^{-1}$, sin referencia al Ampère como unidad independiente. Además, también se puede definir consistentemente la fuerza magnética como $$F=\frac{m_1m_2}{r^2}$$ dónde$m_1$y$m_2$son polos magnéticos , también con unidades en$M^{1/2}L^{3/2}T^{-1}$.

[En una nota no relacionada: me decepciona ver que Batman no es popular como unidad de peso].