¿Qué es una "ecuación de medida" como se menciona en esta guía del grupo de usuarios de TeX?

Supongo (o espero, porque estoy de acuerdo) que se refiere a ecuaciones en las que las variables son números simples en lugar de valores físicos, y las unidades están escritas en las ecuaciones. Como

$$F\:\mathrm{N} = \frac{E\:\mathrm{J}}{s\:\mathrm{m}}$$ es decir " $F$newtons igual $E$Joules más $s$metros ". Lo cual es una forma realmente horrible de escribir ecuaciones, y particularmente dañina cuando uno quiere trabajar en diferentes sistemas de unidades (que, en mi opinión, no es algo malo en sí mismo); la ecuación correcta simplemente indica $$F = \frac{E}{s}$$ se mantiene en todos los sistemas de unidades, pero es necesario realizar un seguimiento de las unidades que se utilizan (¡lo que siempre debe hacer de todos modos!) Y en un sistema de unidades como el "sistema inglés" hay tantos factores extraños involucrados que puede ser útil escribir directamente en la ecuación. Pero hoy en día tenemos computadoras para realizar un seguimiento de las diferentes unidades incluso en tales sistemas, por lo que realmente ya no hay razón para escribir ecuaciones de esta manera.

Declaraciones de factores de conversión simples como$1\:\mathrm{in}\equiv2.54\:\mathrm{cm}$no se consideran ecuaciones de medida (al menos yo no lo haría), ya que no incluyen ninguna variable, sino que simplemente brindan la forma más condensada posible de establecer la relación de diferentes unidades.

Creo que tiene algo que ver con las antiguas unidades de electromagnetismo, que eran mucho más complejas que la conversión de centímetros a pulgadas. Soy demasiado joven para haber estado expuesto a los horrores de -cgs--unidades en electromagnetismo, por lo que todo lo que sigue es solo una conjetura. Mi suposición se debe a algunas búsquedas en Google, con la "ecuación de medida" que aparece en documentos antiguos asociados con la conversión de unidades en electromagnetismo ( este de 1966 , o este libro de 1962 ). No entendí el significado de "ecuación de medida" de esos textos que solo escaneé rápidamente: parecen considerar que la noción es demasiado obvia para definirla. Mi conjetura se ve ligeramente reforzada por la$Z_0=377\Omega/\sqrt\epsilon$ejemplo dado en 8. de su documento TUG.

Básicamente, antes de que existiera el sistema SI, el sistema de unidades electromagnéticas centímetro-gramo-segundo era una pesadilla (al menos para los ojos modernos). Para citar la página de wikipedia vinculada anteriormente:

Los factores de conversión que relacionan las unidades electromagnéticas en los sistemas CGS y SI son mucho más complejos, tanto que las fórmulas que expresan las leyes físicas eléctricas del electromagnetismo son diferentes según el sistema de unidades que se use. Esto ilustra la diferencia fundamental en la forma en que los dos sistemas Están construidos:

• En SI, [...] [e]l amperio es una unidad base del sistema SI, con el mismo estatus que el metro, el kilogramo y el segundo. Por lo tanto, la relación en la definición del amperio con el metro y el newton no se tiene en cuenta, y el amperio no se trata como dimensionalmente equivalente a ninguna combinación de otras unidades básicas. Como resultado, las leyes electromagnéticas en el SI requieren una constante adicional de proporcionalidad ([la] permitividad del vacío) para relacionar las unidades electromagnéticas con las unidades cinemáticas.

• El sistema CGS evita la introducción de nuevas unidades base y, en cambio, deriva todas las unidades eléctricas y magnéticas directamente del centímetro, gramo y segundo en función de las leyes físicas que relacionan los fenómenos electromagnéticos con la mecánica.

El problema viene del hecho de que hay varias (al menos 4 además del SI eran de uso común) formas de hacer este enlace, y esto cambia la presencia o no de algunas constantes físicas en la ecuación, así como sus unidades. Doy a continuación un ejemplo de la ecuación que relaciona las atracciones de dos cargas eléctricas, cómo cambia según el sistema, y ​​cómo este cambia las unidades.

$$\begin{align} \text{Units}& &&\text{equation} &&\text{Charge unit}\\ \text{ESU and Gauss}&& F&=\frac{qq'}{r^2} &&1\;\mathrm{cm}^{\frac32}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{EMU} & & F&=c^2\frac{qq'}{r^2}&&1\;\mathrm{cm}^{\frac12}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-2} \\ \text{Lorentz-Heavyside}& & F&=\frac{4\pi qq'}{r^2}&&\frac{1}{4\pi}\;\mathrm{cm}^{\frac32}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{SI}& & F&=\frac{qq'}{4\pi \epsilon_0 r^2} &&1\;\mathrm{A}\mathrm{s} \end{align}$$ Supongo que la última columna es lo que se entiende por "ecuación de medida", pero, como se dijo anteriormente, es solo una suposición.

No estoy seguro de esto, pero creo que una "ecuación de medida" es algo que parece gustar mucho a los astrónomos:

$$\frac\Gamma H \approx \left( \frac T{1.6\cdot 10^{10} \, \mathrm K} \right)^3$$

O para magnitud absoluta, relativa y distancia (aunque estoy seguro de que confundí algo):

$$m - M = 5 - 5 \log\left(\frac{R}{10 \, \mathrm{pc}}\right)$$

Entonces, ecuaciones que cancelan todas las unidades en el medio y agregan la unidad final al final.

Otro ejemplo, acabo de inventar este, sin embargo:

$$T = 400 \left(\frac{M}{10 \, M_\odot} \right)^{-2} \left(\frac{d}{2 \,\mathrm{au}} \right)^{3} \mathrm{s}$$

Lo bueno es que puedes decir algo como esto: "Para una masa en el estadio de béisbol de diez masas solares y una distancia en el estadio de béisbol de dos unidades astronómicas, el período será de 400 segundos".

En física experimental, todo esto se acumula en una constante con unidad de algo así como$\mathrm{kg^2\,s/m^2}$. Y en física teórica, uno simplemente establecería todo en 1, para deshacerse de él :-)