¿Cuál es la constante de proporcionalidad que falta en la fórmula de levitación magnética?

Como mencionó lurscher en un comentario, está utilizando las unidades incorrectas para la susceptibilidad magnética.$\chi$es en realidad un número adimensional que está relacionado con la permeabilidad magnética de un material en relación con la del vacío. Creo que lo estabas confundiendo con la susceptibilidad magnética molar , que es$\chi_\text{mol} = \mathcal{M}\chi/\rho$, dónde$\mathcal{M}$es la masa molar de la sustancia (unidades de$\mathrm{kg/mol}$) y$\rho$es la densidad (unidades de$\mathrm{kg/m^3}$).$\chi_\text{mol}$es lo que pasa con las unidades de$\mathrm{m^3/mol}$, pero es$\chi$que en realidad aparece en la fórmula de levitación magnética.

Con eso aclarado, veamos la ecuación. El lado izquierdo, naturalmente, tiene unidades de$\mathrm{T^2/m}$. Si incluye la constante magnética en el lado derecho, como lo hace Wikipedia (correctamente), tiene

$$\biggl[\mu_0\frac{ \rho g }{\chi}\biggr] = [\mu_0]\frac{ [\rho] [g] }{[\chi]} = \biggl(\frac{\mathrm{T\,m}}{\mathrm{A}}\Biggr)\frac{\mathrm{(kg/m^3)(m/s^2)}}{1} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

Aquí estoy usando la notación donde poner corchetes alrededor de una cantidad designa las unidades de esa cantidad. Por ejemplo, las unidades de la constante magnética son$\mathrm{T\,m/A}$, entonces$[\mu_0] = \mathrm{T\,m/A}$.

Ahora puedes igualar las unidades de los dos lados de la ecuación:

$$\frac{\mathrm{T^2}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

que simplifica a

$$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$$

Entonces, si esta equivalencia es correcta, entonces muestra que la ecuación original es dimensionalmente consistente. Y si buscas en la página de Wikipedia para el Tesla , de hecho da$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$como una de las definiciones de esa unidad.

Alternativamente, puede verificarlo usando una fórmula que involucre campo magnético y corriente, como$\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}$. Las unidades de este son$\mathrm{N = A\,m\times T}$, y desde$\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}$, puede establecer$\mathrm{kg\,m/s^2 = A\,m\,T}$y encontrar exactamente eso$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$. Este es un truco útil que le evita tener que memorizar las definiciones de todas las unidades SI (u otras).

Esto es algo que también me tomó mucho tiempo entender, pero en realidad no es necesario que sea una constante (dependiendo del sistema de medición). Usted menciona SI, que definitivamente es un sistema preferido, pero voy a mencionar cgs porque saca a la superficie algunos de los asuntos divertidos subyacentes (particularmente debido a las definiciones de statcoulomb ), y en sus raíces no es eso lejos del SI.

Desglosa las unidades en SI para LHS y RHS casi correctamente, excepto que esta fórmula usa un adimensional$\chi$, así que empiezo con:

$\frac{T^2}{m} = \frac{kg\cdot}{m^2\cdot s^2}$

Reescribiré esto en unidades cgs.$T$es en cambio$gauss$,$m$es reemplazado por$cm$,$kg$se convierte$g$, y$s$no ha cambiado Entonces obtengo:

$\frac{gauss^2}{cm} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Gauss es una unidad derivada que, en unidades más "fundamentales", es$gauss = \frac{g\cdot cm}{statC\cdot s^2}$. Todavía no me siento cómodo tratando de explicar todas las complejidades del statcoulomb (statC); Me temo que tendrás que investigarlo un poco más por ti mismo. Termina siendo una unidad de carga, pero viene con muchas otras implicaciones. En cualquier caso, poniendo en esa definición de$gauss$da:

$\frac{g^2\cdot cm}{statC^2\cdot s^4} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

O, reorganizando y simplificando un poco,

$statC = \frac{g^{1/2}\cdot cm^{3/2}}{s}$

Esa es en realidad la definición de statC, por lo que la ecuación es dimensionalmente consistente.

Hasta donde yo sé, el Coulomb del SI no se comporta de esta manera, y no tengo una buena manera de mostrar la consistencia dimensional en SI, pero estaría muy interesado si alguien más lo hiciera.

$\mu_0$falta en el lado derecho, y de hecho$\chi$es adimensional, es sólo la relación entre$M$y$H$. Entonces

$$B \frac{dB}{dz} = \mu_0 \frac{ \rho g }{\chi}$$

La razón:

• la unidad de$B^2/\mu_0$es la densidad de energía ($J/m^3$)
• la unidad de$[\rho g]$es ($N/m^3$)
• como$J=Nm$todo esta bien