¿Por qué la permeabilidad al vacío tiene el valor de ππ\pi?

Esto no es más que una elección de unidades.

Permítanme dejar eso (con suerte) más claro explicando más sobre cómo funciona la elección de unidades en electromagnetismo:

• La ley de Coulomb es$\vec F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\vec r}$para la fuerza entre dos cargas$q_1$y$q_2$.$k$es diferente en los diversos sistemas de unidades; esencialmente, depende de cómo se defina la unidad de carga.

• La ley de Ampere es$\vec F = k' I_1 I_2 \oint_{C_1} \oint_{C_2} \frac{d\vec r_1 \times (d\vec r_2 \times \vec r)}{|r|^3}$para la fuerza entre dos corrientes a lo largo$C_1$y$C_2$.$k'$es diferente en los diversos sistemas de unidades; esencialmente, depende de cómo se defina la unidad de corriente.

En electrodinámica, encontramos que

$$k / k' = c^2$$ de lo contrario, somos libres de elegir. En CGS, definimos $k = 1$, y en SI $k' = 10^{-7} \frac{Vs}{Am}$.

Ahora introducimos constantes

$$\mu_0 = 4\pi\, k', \quad \varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k}$$ Eso no es más que una definición: los factores de $4\pi$simplificar algunas fórmulas más adelante, por ejemplo, cuando los campos se integran sobre la superficie de una esfera.