Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

Question

Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

Física
Probabilidad
Función-de-onda
Mecánica-cuántica
Espacio-de-hilbert
Ecuación-de-schroedinger

Maurizio Barbato

David Bohm en la sección (4.5) de su maravillosa monografía Quantum Theory después de definir la función de probabilidad de densidad habitual $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $PAG (X, t) = ψ^{*} ψ$ para la ecuación de Schrödinger para la partícula libre en una dimensión:

yo ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}},

Establece que

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

PAG (X, t)

es la función única de

ψ (x, t)

ψ (x, t)

ψ (X, t)

y las derivadas parciales de

ψ

ψ

ψ

con respecto a

x

x

X

todo calculado en

(x, t)

(x, t)

(X, t)

que satisface las siguientes propiedades:

P nunca es negativo;
la probabilidad es grande cuando $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $El | ψ El |$ es grande y pequeño cuando $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $El | ψ El |$ es pequeño;
el significado de $P$ $P$ $PAG$ no depende de manera crítica de ninguna cantidad que se considere irrelevante en términos físicos generales: en particular, esto implica (ya que estamos tratando con una teoría no relativista) que $P$ $P$ $PAG$ no debe depender de dónde se elige el cero de energía;
$\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int PAG (X, t) re X$ se conserva con el tiempo, de modo que eventualmente se normaliza $P$ $P$ $PAG$ podemos elegir $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int PAG (X, t) re X = 1$ para todos $t$ $t$ $t$ .

Bohm no ofrece ningún argumento matemático y, en realidad, la afirmación me parece completamente injustificada.

¿Alguien sabe alguna razón por la que debería ser cierto?

NOTA 1). Dado que la ecuación de Schrödinger es una ecuación de primer orden, la evolución temporal de $ψ$ $ψ$ $ψ$ se fija dado el estado inicial $ψ (x, 0)$ $ψ (x, 0)$ $ψ (X, 0 0)$ : esta es la razón por la cual requerimos que la probabilidad $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $PAG (X, t)$ depende del estado en el momento $t$ $t$ $t$ , es decir $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ , y sus derivadas espaciales. Para ser explícito, el requisito de que $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $PAG (X, t)$ es una función solo de $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ y las derivadas parciales de $ψ$ $ψ$ $ψ$ con respecto a $x$ $x$ $X$ todo calculado en $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ significa que existe una función $p$ $p$ $pag$ tal que $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $PAG (X, t) = pag (ψ (X, t), \frac{\partial ψ}{\partial X} (X, t), . . ., \frac{\partial^{metro} ψ}{\partial X^{metro}} (X, t))$ .

NOTA 2). La que se da arriba no es una formulación matemáticamente rigurosa del problema, sino la que originalmente dio Bohm. Entonces podemos sentirnos libres de atribuir un riguroso significado matemático a las diferentes propiedades. En particular, en cuanto a la propiedad (iv) podemos formularla en una forma matemática diferente (y no equivalente), al exigir que se cumpla una ley de conservación local, en el sentido de que existe una función $j$ $j$ $j$ , de modo que, si ponemos $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (X, t) = j (ψ (X, t), \frac{\partial ψ}{\partial X} (X, t), . . ., \frac{\partial^{metro} ψ}{\partial X^{metro}} (X, t))$ , obtenemos

\frac{\partial PAG}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0.

NOTA 3). Preguntas similares se plantean en las publicaciones Inexistencia de una probabilidad para ecuaciones de onda real e inexistencia de una probabilidad para la ecuación de Klein-Gordon . Presumiblemente, Bohm tenía en mente el mismo tipo de argumento matemático para abordar estos tres problemas, por lo que la verdadera pregunta es: ¿qué herramienta matemática pensó utilizar? ¿Quizás algún concepto de la teoría de campo clásica o la teoría de ecuaciones diferenciales parciales?

Vanguardia

¿Por qué motivo?

Maurizio Barbato

La declaración de Bohm es que

P

P

PAG

es la probabilidad única que puedes definir usando

ψ

ψ

ψ

y sus derivados parciales que satisfacen las propiedades enumeradas en la publicación. Obviamente, estas propiedades requeridas no están definidas de una manera matemática muy rigurosa, pero así es como Bohm trata el problema.

Omar Nagib

Puede encontrar justificación para este tipo de declaraciones en un libro de texto introductorio sobre QM (por ejemplo, Griffiths ').

drvrm

Si P (x) es la probabilidad de encontrar una partícula en x -entonces la integral dice que la probabilidad total debe ser 1 ya que la partícula debe encontrarse entre -infinito a + valor infinito de x.

Knzhou

Hice una pregunta relacionada aquí . No tiene exactamente lo que desea, pero puede tener algunos consejos útiles.

Respuestas (4)

Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

La declaración de Bohm es que $P$ $P$ $PAG$ es la probabilidad única que puedes definir usando $ψ$ $ψ$ $ψ$ y sus derivados parciales que satisfacen las propiedades enumeradas en la publicación. Obviamente, estas propiedades requeridas no están definidas de una manera matemática muy rigurosa, pero así es como Bohm trata el problema.
Puede encontrar justificación para este tipo de declaraciones en un libro de texto introductorio sobre QM (por ejemplo, Griffiths ').
Si P (x) es la probabilidad de encontrar una partícula en x -entonces la integral dice que la probabilidad total debe ser 1 ya que la partícula debe encontrarse entre -infinito a + valor infinito de x.
Hice una pregunta relacionada aquí . No tiene exactamente lo que desea, pero puede tener algunos consejos útiles.

EuYu · Answer 1

Los supuestos de Bohm no son matemáticamente precisos, por lo que debe adjuntarles una interpretación matemática (especialmente declaraciones $2$ $2$ $2$ y $3$ $3$ $3$ ) Como no lo ha hecho usted mismo, intentaré interpretarlos de una manera que me parezca razonable.

Definición para $P$ $P$ $PAG$ : Requeriremos que la densidad de probabilidad $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${PAG}_{ψ} (X, t)$ de cualquier función suave $ψ$ $ψ$ $ψ$ ser una función local de sus derivadas parciales en $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ .

Más formalmente, dejemos $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ ser una función suave y dejar $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{X, t}^{\infty} ψ$ denotar la prolongación del chorro infinito de $ψ$ $ψ$ $ψ$ a $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ , es decir, su expansión formal de la serie Taylor sobre $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ . Entonces podemos escribir

{PAG}_{ψ} (X, t) = pag (j_{X, t}^{\infty} ψ),

para alguna función

p

p

pag

definido en el paquete del jet. En términos de regularidad, requeriremos

p

p

pag

a ser continuo.

Esta es esencialmente la definición que propusiste $P$ $P$ $PAG$ . De hecho, esto ya es problemático ya que necesariamente tendremos que trabajar con funciones de onda que no sean suaves. Por lo tanto, ya es problemático exigir que $P$ $P$ $PAG$ dependen de derivados más altos ya que ni siquiera se garantiza que existan. No obstante, permitiremos una dependencia arbitraria de los parciales superiores y aplicaremos las condiciones de coherencia para $P$ $P$ $PAG$ evaluado en funciones suaves. Entonces podemos recuperar $P$ $P$ $PAG$ únicamente para arbitrario $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ funciona por continuidad.

Supuesto 1: la función $p$ $p$ $pag$ es un valor real y no negativo.

Supuesto 2: la densidad de probabilidad $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${PAG}_{ψ} (X, t)$ es una función no decreciente de $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $El | ψ (X, t) El |$ es decir,

{PAG}_{ψ_{1}} (X, t) \geq {PAG}_{ψ_{2}} (X, t) ⟺ El | ψ_{1} (X, t) El | \geq El | ψ_{2} (X, t) El | .

Supuesto 3: la función $p$ $p$ $pag$ es invariante en fase global, es decir,

pag ({mi}^{yo θ} j_{X, t}^{\infty} ψ) = pag (j_{X, t}^{\infty} ψ) .

Supuesto 4: si $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ es una función normalizada, entonces $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ ${PAG}_{ψ} (X, t)$ es igualmente una función normalizada.

Veamos los supuestos uno por uno. Suposición $1$ $1$ $1$ es relativamente sencillo ya que las densidades de probabilidad deben ser reales y no negativas.

Propiedad $2$ $2$ $2$ Es, en mi opinión, el más difícil de interpretar adecuadamente. La forma en que he interpretado la propiedad en Asunción $2$ $2$ $2$ es decir que la magnitud de la densidad de probabilidad en un punto refleja directamente la magnitud de la función de onda en ese punto. Esto es lo que creo que es la transcripción más directa de la segunda propiedad de Bohm.

Este supuesto es de hecho extremadamente fuerte, y necesariamente implica que $p$ $p$ $pag$ es independiente de todos los derivados de $ψ$ $ψ$ $ψ$ . Esto se debe esencialmente a que el valor de una función suave y todas sus derivadas se pueden prescribir de forma independiente en cualquier momento. Esto ya lo señaló @Kostas.

Lema: supongamos que $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $pag (j_{X, t}^{\infty} ψ)$ es una función continua no decreciente de $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $El | ψ (X, t) El |$ . Entonces $p$ $p$ $pag$ es independiente de todos los derivados de $ψ$ $ψ$ $ψ$ es decir,

pag (j_{X, t}^{\infty} ψ) = pag (j_{X, t}^{0 0} ψ) = pag (ψ (X, t)) .

Prueba: según el teorema de Borel , dada cualquier secuencia compleja $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $({una}_{norte, metro})_{norte, metro = 0 0}^{\infty},$ y cualquier punto $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ , existe una función suave $ψ$ $ψ$ $ψ$ tal que

\frac{\partial^{norte + metro}}{\partial X^{norte} \partial t^{metro}} ψ (X, t) = {una}_{norte, metro} .

Por lo tanto, podemos variar las entradas individuales de la serie Taylor de forma completamente independiente.

Suponer que $p$ $p$ $pag$ no es constante en alguna parcial $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{yo} ψ$ . Luego, según el teorema de Borel, podemos encontrar funciones suaves $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ y $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ tal que todos los coeficientes de Taylor $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ y $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ de acuerdo en $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ excepto por $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{yo}$ . Entonces

pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{1}) \neq pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{2}),

y sin pérdida de generalidad podemos suponer que

pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{1}) > pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{2}) .

A continuación, podemos encontrar alguna otra función suave

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

que concuerda con

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

para todos los coeficientes de Taylor en

(x, t)

(x, t)

(X, t)

excepto por el término constante,

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (X, t) \neq ψ_{2} (X, t)

. Por continuidad, podemos elegir

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (X, t)

un poco más grande que

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (X, t)

pero aún así que

pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{1}) > pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{3}) .

Por lo tanto tenemos

El | ψ_{1} (X, t) El | = El | ψ_{2} (X, t) El | < El | ψ_{3} (X, t) El |, y pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{1}) > pag (j_{X, t}^{\infty} ψ_{3}),

en contradicción con la suposición de monotonicidad.

◻

◻

◻

Por lo tanto asumiremos que $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ ${PAG}_{ψ} (X, t) = pag (ψ (X, t))$ de ahora en adelante. Tenga en cuenta que en este punto, ya no necesitamos suponer que $ψ$ $ψ$ $ψ$ es suave.

Suposición $3$ $3$ $3$ también es esencialmente una transcripción directa de la Propiedad 3. Si cambiamos la energía, cambiamos efectivamente la función de onda por un factor de fase global $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ ${mi}^{yo mi t}$ . Dado que siempre podemos hacer que la función de onda sea real y positiva en cualquier punto dado $(x, t)$ $(x, t)$ $(X, t)$ por una elección apropiada de un factor de fase global, se deduce que $p$ $p$ $pag$ es independiente de la fase de $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ es decir,

pag (ψ (X, t)) = pag (El | ψ (X, t) El |) .

Tenga en cuenta que esta suposición es realmente completamente innecesaria. Podríamos haber deducido la ecuación anterior mediante una ligera modificación de nuestro lema usando Suposición $2$ $2$ $2$ . Lo guardaré solo por completo.

Finalmente llegamos a la Asunción. $4$ $4$ $4 4$ . Declaración de Bohm para su propiedad $4$ $4$ $4 4$ es que las probabilidades deben normalizarse en todo momento, es decir, para todos $t$ $t$ $t$ Nosotros deberíamos tener

1 = \int_{R} PAG (X, t) re X .

Sin embargo, esto tiene ciertas ambigüedades. ¿Qué evolución temporal debemos usar? Ingenuamente, cualquier operador autoadjunto $H$ $H$ $H$ con un espectro que está limitado a continuación (para que haya un nivel de energía más bajo) debería poder servir como un hamiltoniano válido. Si requerimos que la tarea $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto {PAG}_{ψ}$ ser universalmente válido, es decir, independiente de Hamilton, entonces debemos exigir que $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $PAG (X, t)$ normalizarse con respecto a la evolución unitaria generada por cualquier hamiltoniano.

Se puede demostrar que dado cualquier unitario $U$ $U$ $U$ , existen algunos hamiltonianos admisibles (autoadjuntos, delimitados a continuación) $H$ $H$ $H$ tal que $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = {mi}^{yo H}$ . De hecho, ni siquiera necesitamos considerar el conjunto de todos los hamiltonianos admisibles, sino más bien solo el conjunto de todos los hamiltonianos delimitados debido al siguiente teorema.

Teorema: Let $H$ $H$ $H$ ser un espacio de Hilbert y dejar $U$ $U$ $U$ ser cualquier operador unitario en $H$ $H$ $H$ . Entonces existe un operador autoadjunto acotado $A$ $A$ $UNA$ (con norma a lo sumo $π$ $π$ $π$ ) tal que

U = {mi}^{yo UNA} .

Prueba: esta es una consecuencia simple del cálculo funcional de Borel para operadores acotados aplicados a la rama principal del logaritmo. Vea aquí para una prueba completa. $◻$ $◻$ $◻$

Ahora deja $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (X)$ ser alguna función de onda normalizada. Asumamos sin pérdida de generalidad que $P$ $P$ $PAG$ se normaliza para que

1 = \int_{R} {PAG}_{ψ_{1}} (X) re X .

Dejar

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (X)

ser alguna otra función de onda normalizada arbitraria. Dejar

U

U

U

ser unitario tal que

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

. Entonces existe un Hamiltoniano limitado de tal manera que la evolución del tiempo trae el estado inicial

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (X, t = 0 0) = ψ_{1} (X)

a

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (X, t = 1) = ψ_{2} (X)

. Esto significa que debemos tener

1 = \int_{R} {PAG}_{ψ_{1}} (X) re X = \int_{R} {PAG}_{ψ_{2}} (X) re X .

Ya que

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

era una función normalizada arbitraria, se deduce que

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

{PAG}_{ψ}

está normalizado para todos los normalizados

ψ

ψ

ψ

. Tomamos esto como nuestra Asunción

4

4

4 4

.

Físicamente, esta suposición esencialmente dice que deberíamos ser capaces de variar el potencial del Hamiltoniano para conducir cualquier función de onda normalizada arbitrariamente cerca de cualquier otra función de onda normalizada. Ya que $P$ $P$ $PAG$ se conserva bajo esta evolución, debe normalizarse dada cualquier función de onda normalizada.

Tenga en cuenta que esto implica que debemos tener $p (0) = 0$ $p (0) = 0$ $pag (0 0) = 0 0$ . De otra manera $p (0) > 0$ $p (0) > 0$ $pag (0 0) > 0 0$ dará una integral divergente para cualquier función normalizada de soporte compacto $ψ$ $ψ$ $ψ$ .

Ahora deja $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $y > 0 0$ . Definir $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (X, t)$ ser igual a $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / / \sqrt{y}$ para $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $X \in (0 0, y)$ y cero en otra parte. Entonces nosotros tenemos

\int_{R} El | ψ_{y} (X, t) {El |}^{2} re X = 1 = \int_{R} pag (El | ψ_{y} (X, t) El |) re X = \int_{0 0}^{y} pag (1 / / \sqrt{y}) re X = y pag (1 / / \sqrt{y}) .

Por lo tanto debemos tener

pag (El | ψ (X, t) El |) = El | ψ (X, t) {El |}^{2} .

Este es el reclamo deseado. Por supuesto, es posible que no esté de acuerdo con la forma en que interpreté algunas de las declaraciones de Bohm. Pero como usted mismo dijo en la pregunta, se deben asignar algunas definiciones rigurosas a estas propiedades físicas. Estos son simplemente lo que sentí como los más fieles.

He pensado cuidadosamente en su suposición 4, y aunque no está completamente injustificada, seguro que no es una interpretación adecuada de la propiedad 4 requerida por Bohm, que solo dice que $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int PAG (X, t) re X$ debe ser constante en el tiempo. Su suposición 4 hace que el problema sea trivial, mientras que la declaración de Bohm no es trivial en absoluto.
@MaurizioBarbato Usted dice que la Propiedad 4 solo requiere que $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int PAG re X$ Se constante. ¿Pero constante con respecto a qué? Cualquiera que sea la asignación de probabilidad que hagamos, no debería depender del propio hamiltoniano. Sentado que $P$ $P$ $PAG$ es universal $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int PAG re X$ debe ser constante con respecto a todas las posibles evoluciones hamiltonianas. Los unitarios generados por el conjunto de todos los hamiltonianos admisibles (es decir, autoadjuntos, delimitados desde abajo) serán densos en el grupo unitario completo del espacio de Hilbert.
¡Ahora entiendo tu punto, y esta me parece una idea muy brillante! Perdón por no haberlo entendido por primera vez. Si no me excedo, me gustaría tener alguna referencia para su declaración "los unitarios generados por el conjunto de todos los hamiltonianos admisibles son densos en el grupo unitario completo del espacio de Hilbert". Creo que esto tiene algo que ver con el Teorema de Stone, pero no sé a qué te refieres exactamente, ya que nunca conocí la noción de operador "acotado desde abajo". Muchas, muchas gracias ... de antemano.
@MaurizioBarbato He actualizado la respuesta para que contenga nuestra discusión hasta ahora, así como una referencia a la prueba que deseaba.

Omar Nagib · Answer 2

(i) Claramente $P$ $P$ $PAG$ no es negativo ya que $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ ${una}^{*} una = El | una {El |}^{2}$ no es negativo para todos los números complejos $a$ $a$ $una$ .

(ii) La probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo infinitesimal entre $x$ $x$ $X$ y $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $X + re X$ es dado por $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $PAG re X = El | ψ (X, t) {El |}^{2} re X$ donde esta probabilidad claramente es grande para grande $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $El | ψ El |$ y viceversa.

(iii) De hecho, se puede demostrar que desplazar el cero de energía por una constante (es decir, $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (X) \to V (X) + V_{o}$ , dónde $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ es constante) cambia la fase general de la función de onda para que $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (X, t) \to ψ (X, t) Exp (- yo V_{o} t / / ℏ)$ , pero esto no afecta $P$ $P$ $PAG$ , ya que $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ ${PAG}_{nuevo} = ψ_{nuevo}^{*} ψ_{nuevo} = [ψ^{*} Exp (+ yo V_{o} t / / ℏ)] [ψ Exp (- yo V_{o} t / / ℏ)] = ψ^{*} ψ = PAG$ .

(iv) Hay muchas maneras de probar esto; Una forma es mostrar $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{re}{re t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ re X = 0 0$ , Puedes hacerlo tirando de la derivada dentro de la integral y aplicando la regla del producto en $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{re [ψ^{*} ψ]}{re t}$ y usando la ecuación de Schrodinger y la integración por partes para probar el resultado deseado.

Querido Omar, muchas gracias por tu respuesta, pero mi publicación pregunta algo completamente diferente. Probaste eso $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $PAG = ψ^{*} ψ$ Satifica la propiedad requerida, y este es el personal estándar. Pero mi pregunta es sobre el $uniqueness$ $uniqueness$ $unicidad$ de $P$ $P$ $PAG$ . Bohm afirma que $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $PAG = ψ^{*} ψ$ es esencialmente la función única de $ψ$ $ψ$ $ψ$ y sus derivados parciales que sacian las propiedades requeridas. ¿Tienes alguna idea para probar esta afirmación?

Kostas · Answer 3

OP está pidiendo una prueba matemática de la unicidad de algunas o todas las propiedades de P establecidas por Bohm. Es fácil ver que las i), ii) y iii) pueden violarse por separado e incluso juntas. Aquí hay un ejemplo trivial: $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $PAG = (Ψ^{*} Ψ + El | \partial Ψ {El |}^{2})^{2}$ No satisface iv) por supuesto. Probar que tal expresión no satisface iv) es difícil. Una forma de hacerlo es asumir que P es una función polinómica de Ψ y sus derivadas (en el ejemplo) y probar que todos los coeficientes del polinomio desaparecen, excepto el coeficiente del término con $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ . Es un negocio tonto, ¡pero puede ayudarlo si está tratando de entender por qué la ecuación de Schroedinger es la única ecuación posible!

No voy a reescribir mi respuesta, pero la segunda parte de ii) dice que P es "pequeño cuando | ψ | es pequeño" para mí, esto parece que las derivadas parciales simplemente no están permitidas. Entonces el trabajo de probar iv) sería mucho más fácil.

Maurizio Barbato · Answer 4

Después de una larga búsqueda en la literatura, debo admitir que el tema del establecimiento de la unicidad de la densidad de probabilidad para la ecuación de Schrödinger como lo discutió Bohm ha despertado muy poco interés. En realidad, el único trabajo que aborda explícitamente este problema es la unicidad de las corrientes conservadas en la mecánica cuántica , a pesar de que el problema de la unicidad se había discutido previamente en el contexto de la teoría de la onda piloto de De Broglie-Bohm (ver los documentos allí citados).

Holland usa consideraciones relativistas para mostrar la unicidad de la corriente conservada para la ecuación de Klein-Gordon, de la cual deduce en el límite no relativista el resultado de unicidad análogo para la ecuación de Schrödinger.

De todos modos, como el mismo autor me sugirió en una comunicación privada, se podría dar una prueba más directa si comenzamos directamente desde la ecuación de Schrödinger en el caso de un potencial $V$ $V$ $V$ :

yo ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} Δ ψ (X, t) + V (X) ψ (X, t),

y usa el método que introduce en su artículo para derivar todas las corrientes conservadas

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(PAG, J)

que son funciones solo de

ψ

ψ

ψ

, las derivadas parciales de primer orden de

ψ

ψ

ψ

y eventualmente

V

V

V

, estudiando sus propiedades de transformación bajo las transformaciones de Galilei y bajo posibles cambios de

V

V

V

. Tengamos en cuenta que debemos tener cuidado al aplicar este procedimiento ya que

ψ

ψ

ψ

no es invariante bajo las transformaciones de Galilei, pero cambia apropiadamente: ver, por ejemplo, Commins, Quantum Mechanics o Galilei Invariance of the Schrodinger Equation .

Esto dará un conjunto general de corrientes conservadas, y podríamos investigar si la suposición adicional de que $P$ $P$ $PAG$ debe depender solo de $ψ$ $ψ$ $ψ$ y no en sus derivadas parciales de primer orden (que es una consecuencia particular de la propiedad (ii) requerida por Bohm) eventualmente implica una expresión única para $P$ $P$ $PAG$ o no. En el último caso, se debe agregar alguna otra condición (quizás también derivada por la propiedad (ii) que es bastante vaga) para obtener la unicidad.

De todos modos, este enfoque sufriría en cualquier caso una falta de generalidad, ya que debe suponer desde el principio que $P$ $P$ $PAG$ y $J$ $J$ $J$ no dependen de derivadas parciales de $ψ$ $ψ$ $ψ$ de orden mayor que uno, una suposición que parece completamente ausente en la discusión de Bohm, a pesar de que es una suposición muy plausible por razones físicas (ver el comentario hecho en este punto por Holland en su trabajo). Por esta razón, estoy bastante seguro de que este enfoque no era el que Bohm tenía en mente cuando hizo su declaración de unicidad, aunque no tengo idea sobre el tipo de argumento que podría haber imaginado.

Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

Maurizio Barbato

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Construyendo soluciones a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Estados coherentes e integridad

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

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Campo lagrangiano de Schrodinger

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