Matriz de acoplamiento orbital de giro en base p-orbital

Question

Matriz de acoplamiento orbital de giro en base p-orbital

Física
Giro-cuántico
Momento-angular
Mecánica-cuántica

Cientifica

Entonces tengo el siguiente Hamiltoniano heredado de la Física atómica:

H_{S O C} = α \vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z})

Donde L es el momento angular, S es spin, y $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ es el operador de impulso angular hacia arriba / hacia abajo.

Ahora en la base de $p$ $p$ $pag$ orbitales y spin: ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${El | {pag}_{X} ↑ ⟩, El | {pag}_{X} ↓ ⟩, El | {pag}_{y} ↑ ⟩, El | {pag}_{y} ↓ ⟩, El | {pag}_{z} ↑ ⟩, El | {pag}_{z} ↓ ⟩}$ , obtenemos lo siguiente $6 \times 6$ $6 \times 6$ $6 6 \times 6 6$ matriz:

H_{S O C} = \frac{α}{2} (\begin{matrix} 0 0 & - yo & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \\ yo & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & - 1 & yo & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & - 1 & 0 0 & yo & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & - yo & - yo & 0 0 & 0 0 \\ 1 & yo & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \end{matrix})

Así que disculpe mi ignorancia, pero ¿cómo se calculan exactamente estos elementos de la matriz?

Entiendo que el primer elemento de la matriz es la energía del acoplamiento orbital giratorio del $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ {pag}_{X} ↑ El |$ electrón que actúa sobre el $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $El | {pag}_{X} ↑ ⟩$ electrón, ya que tienen la misma orientación, la energía, claro, debería ser cero. Pero ahora tenemos el $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ {pag}_{y} ↑ El |$ electrón que actúa sobre el $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $El | {pag}_{X} ↑ ⟩$ orbital y obtenemos $i$ $i$ $yo$ . ¿Cómo se calcula esto? ¿Alguien puede mostrar los pasos para calcular un elemento de matriz para que pueda ver cómo se hace esto? Y no, esto no es tarea ni nada, solo mi curiosidad personal.

Encontré algo similar en línea, pero usaron coeficientes Clebsch-Gordan que me confundieron más.

AccidentalFourierTransform

Escribe el

p

p

pag

orbitales en términos de armónicos esféricos (p. ej.,

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

El | {pag}_{X} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (El | + 1 ⟩ + El | - 1 ⟩

) Con este,

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} El | {pag}_{X} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} El | + 1 ⟩ + L^{+} El | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 0 + El | 0 0 ⟩)

etc.

Cientifica

Hmm, ok, ese es un punto de partida, aunque no estoy seguro de cómo expresas el orbital p_x así, en notación dirac. Y luego ... ¿cómo incorporas el operador de giro y cómo encuentras realmente los elementos de la matriz entre dos eletrones?

AccidentalFourierTransform

mira aquí

Cientifica

@AccidentalFourierTransform lamento ser molesto, pero realmente no entiendo cómo obtener los elementos de la matriz todavía. He estado en eso por un tiempo. ¿Puedes hacer un ejemplo para mí? Diga el primer elemento de la segunda columna de la columna

i

i

yo

. Creo que solo necesito ver un ejemplo resuelto para darle sentido. Gracias tan amablemente

Respuestas (2)

Matriz de acoplamiento orbital de giro en base p-orbital

Hmm, ok, ese es un punto de partida, aunque no estoy seguro de cómo expresas el orbital p_x así, en notación dirac. Y luego ... ¿cómo incorporas el operador de giro y cómo encuentras realmente los elementos de la matriz entre dos eletrones?
@AccidentalFourierTransform lamento ser molesto, pero realmente no entiendo cómo obtener los elementos de la matriz todavía. He estado en eso por un tiempo. ¿Puedes hacer un ejemplo para mí? Diga el primer elemento de la segunda columna de la columna $i$ $i$ $yo$ . Creo que solo necesito ver un ejemplo resuelto para darle sentido. Gracias tan amablemente

ZeroTheHero · Answer 1

Primero, creo que tu $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ es incorrecto y debería leer:

\begin{matrix} (1) & H_{S O C} = \frac{α}{2} (L_{+} σ_{-} + L_{-} σ_{+} + L_{z} σ_{z}) . \end{matrix}

El giro con su problema es que utiliza los armónicos esféricos reales, en lugar de la forma exponencial compleja más común en física y mejor adaptada a la evaluación de los elementos de la matriz. La conversión entre los dos se puede encontrar en esta página wiki.

Así:

\begin{aligned} (2) & {pag}_{y} & = \frac{yo}{\sqrt{2}} (Y_{1}^{- 1} + Y_{1}^{1}) \Rightarrow El | {pag}_{y} ⟩ = \frac{yo}{\sqrt{2}} (El | 1, - 1 ⟩ + El | 1, 1 ⟩), \\ (3) & {pag}_{X} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Y_{1}^{- 1} - Y_{1}^{1}) \Rightarrow El | {pag}_{y} ⟩ = \frac{yo}{\sqrt{2}} (El | 1, - 1 ⟩ + El | 1, 1 ⟩), \\ (4) & {pag}_{z} & = Y_{1}^{0 0} \Rightarrow El | {pag}_{z} ⟩ = El | 1, 0 0 ⟩, \end{aligned}

donde los argumentos

(θ, φ)

(θ, φ)

(θ, φ)

del

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{metro}

han sido omitidos por claridad.

El siguiente paso es recordar la acción de los distintos operadores en $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ metro}$ :

\begin{aligned} (5) & {\hat{L}}_{\pm} Y_{ℓ}^{metro} & = \sqrt{(ℓ \mp metro) (ℓ \pm metro + 1)} Y_{ℓ}^{metro \pm 1}, \\ (6) & {\hat{L}}_{z} Y_{ℓ}^{metro} & = metro Y_{ℓ}^{metro} \end{aligned}

de la cual se obtiene, por ejemplo (si no cometí errores obvios), la representación matricial de

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

en la base

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{El | {pag}_{X} ⟩, El | {pag}_{y} ⟩, El | {pag}_{z} ⟩}

\begin{aligned} (7) & {\hat{L}}_{+} El | {pag}_{X} ⟩ & = El | {pag}_{z} ⟩ {\hat{L}}_{+} El | {pag}_{y} ⟩ = yo El | {pag}_{z} ⟩ {\hat{L}}_{+} El | {pag}_{z} ⟩ = - El | {pag}_{X} ⟩ - yo El | {pag}_{y} ⟩, \end{aligned}

así que eso

\begin{aligned} (8) & {\hat{L}}_{+} \to (\begin{array}{ccc} 0 0 & 0 0 & - 1 \\ 0 0 & 0 0 & - yo \\ 1 & yo & 0 0 \end{array}), {\hat{L}}_{-} \to (\begin{array}{ccc} 0 0 & 0 0 & 1 \\ 0 0 & 0 0 & - yo \\ - 1 & yo & 0 0 \end{array}) . \end{aligned}

desde la representación matricial para

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

se transpondrá conjugado de la representación matricial para

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

. Igualmente:

\begin{aligned} (9) & {\hat{σ}}_{+} El | ↑ ⟩ & = 0 0, {\hat{σ}}_{+} El | ↓ ⟩ = El | ↑ ⟩, {\hat{σ}}_{-} El | ↑ ⟩ = El | ↓ ⟩, {\hat{σ}}_{-} El | ↓ ⟩ = 0 0 . \end{aligned}

Por lo tanto:

\begin{aligned} (10) & {\hat{L}}_{+} {\hat{σ}}_{-} El | {pag}_{X}; ↑ ⟩ & = [{\hat{L}}_{+} El | {pag}_{X} ⟩] [{\hat{σ}}_{-} El | ↑ ⟩] = El | {pag}_{z} ⟩ El | ↓ ⟩ = El | {pag}_{z}; ↓ ⟩, \\ (11) & {\hat{L}}_{-} {\hat{σ}}_{+} El | {pag}_{X}; ↑ ⟩ & = 0 0, \\ (12) & {\hat{L}}_{z} {\hat{σ}}_{z} El | {pag}_{X}; ↑ ⟩ & = [{\hat{L}}_{z} El | {pag}_{X} ⟩] [{\hat{σ}}_{z} El | ↑ ⟩] = yo El | {pag}_{y} ⟩ El | ↑ ⟩ = yo El | {pag}_{y}; ↑ ⟩ \end{aligned}

Esta no es la primera columna de su matriz, pero, según tengo entendido, esta matriz tampoco es del todo correcta, ya que debería ser hermitiana pero no lo es: por ejemplo, el elemento de la matriz en posición

(2, 6)

(2, 6)

(2, 6 6)

debe ser el complejo conjugado del elemento matriz en posición

(6, 2)

(6, 2)

(6 6, 2)

. De todos modos, mi cálculo daría los elementos en la primera columna como

\begin{matrix} (13) & (0 0, 0 0, yo, 0 0, 0 0, 1)^{T} \end{matrix}

Esto podría deberse a que los elementos básicos se ordenan como ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${El | {pag}_{X} ↑ ⟩, El | {pag}_{y} ↑ ⟩, El | {pag}_{z} ↑ ⟩, El | {pag}_{X} ↓ ⟩, El | {pag}_{y} ↓ ⟩, El | {pag}_{z} ↓ ⟩}$ en lugar del orden que das (o de lo contrario es muy posible que haya cometido un error en alguna parte). Con este pedido, mi primera columna saldría como $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0 0, yo, 0 0, 0 0, 0 0, 1)^{T}$ , que es idéntico al tuyo. Tenga en cuenta que esto no soluciona el problema de hermiticidad mencionado anteriormente.

Las otras columnas se encuentran de la misma manera.

Rudi_Birnbaum · Answer 2

Por ejemplo, mire la entrada 1,2:

$(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < {pag}_{X} ↑ El | H_{S O C} El | {pag}_{X} ↓> = < {pag}_{X} ↑ El | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) El | {pag}_{X} ↓> =$

$= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< {pag}_{X} ↑ El | L^{+} σ^{+} El | {pag}_{X} ↓> + < {pag}_{X} ↑ El | L^{-} σ^{-} El | {pag}_{X} ↓> + < {pag}_{X} ↑ El | L^{z} σ^{z} El | {pag}_{X} ↓>) .$

Todo eso se está volviendo largo, así que veamos solo el primer término, aquí el operador de la escalera giratoria solo actúa en la parte giratoria del producto y la escalera ascendente hace que la rotación se levante de la rotación hacia abajo, por lo que obtenemos:

$< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< {pag}_{X} ↑ El | L^{+} σ^{+} El | {pag}_{X} ↓> = <↑↑> < {pag}_{X} El | L^{+} El | {pag}_{X} >$ ,

en la expresión a la derecha del signo igual, la "integral" sobre las funciones de solo la coordenada giratoria está a la izquierda y la integral sobre el espacio a la derecha, y con las cosas esbozadas anteriormente de AccidentialFourierTransform (en realidad se trata de cómo expresar los armónicos esféricos en una base que puede evaluarse utilizando los operadores de escalera) que da

$1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < {pag}_{X} \frac{1}{\sqrt{2}} El | 0 0 + El | 0 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < {pag}_{X} El | 0 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 0 = 0.$

Esto se trata de lo que debe hacer para evaluar estos elementos de la matriz (hasta algunos errores).

Matriz de acoplamiento orbital de giro en base p-orbital

Cientifica

AccidentalFourierTransform

Cientifica

AccidentalFourierTransform

Cientifica

Respuestas (2)

ZeroTheHero

Rudi_Birnbaum

Prueba clásica de la relación giromagnética g = 2 g = 2

Estados coherentes e integridad

Funciones propias del vector Runge-Lenz

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

Construyendo soluciones a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Ayuda a un físico aspirante a qué estudiar por sí mismo [cerrado]

Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

¿Cómo reescribe una función de transferencia en forma estándar?

Geometría del agujero negro de Schwarzschild en coordenadas Novikov