¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

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¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

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Ecuación-de-schroedinger

A.khalaf

La ecuación de Schrödinger es la base para comprender la mecánica cuántica, pero ¿cómo se puede derivar? Le pregunté a mi instructor, pero él me dijo que provenía de la experiencia de Schrödinger y sus experimentos. Mi pregunta es, ¿se puede derivar matemáticamente la ecuación de Schrödinger?

Burbuja

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/questions/135872/…

David Z ♦

@Bubble relacionado, pero no es un IMO duplicado ya que esa pregunta es una motivación física, no una derivación.

usuario 170039

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Respuestas (7)

¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/questions/135872/…
@Bubble relacionado, pero no es un IMO duplicado ya que esa pregunta es una motivación física, no una derivación.

ACuriousMind · Answer 1

Tenga en cuenta que, en general, no es posible una "derivación matemática" de un principio físico. Las matemáticas no conciernen al mundo real, siempre necesitamos información empírica para decidir qué marcos matemáticos corresponden al mundo real.

Sin embargo, la ecuación de Schrödinger se puede ver surgiendo naturalmente de la mecánica clásica a través del proceso de cuantización. Más precisamente, podemos motivar la mecánica cuántica de la mecánica clásica puramente a través de la teoría de Lie, como se discute aquí , dando la prescripción de cuantificación

{\dot{}, \dot{}} \mapsto \frac{1}{yo ℏ} [\dot{}, \dot{}]

para el clásico soporte de Poisson. Ahora, la evolución clásica de los observables en el espacio de fase es

\frac{re}{re t} F = {F, H} + \partial_{t} F

y entonces su cuantización es la ecuación del operador

\frac{re}{re t} F = \frac{yo}{ℏ} [H, F] + \partial_{t} F

que es la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg. Dado que las imágenes de Heisenberg y Schrödinger son unitariamente equivalentes, esta es una "derivación" de la ecuación de Schrödinger de la mecánica clásica del espacio de fases.

¿Qué pasa con la "derivación" a través de integrales de ruta?
@LoveLearning: todo depende de dónde quieras comenzar. En mi opinión, el elemento más misterioso tanto de la ecuación de Schrödinger como de la integral del camino es la aparición de $i$ $i$ $yo$ . De hecho, puede derivar el SE de la integral de ruta (y viceversa), pero luego debe explicar por qué diablos se está integrando $e^{i S / ℏ}$ $e^{i S / ℏ}$ $e^{i S / ℏ}$ $e^{i S / ℏ}$ $e^{i S / ℏ}$ $e^{i S / ℏ}$ ${mi}^{yo S / / ℏ}$ en primer lugar. El procedimiento de cuantización geométrica al menos da una motivación matemática para eso, comenzando por la mecánica clásica. Por supuesto, si crees que no deberíamos comenzar con la mecánica clásica, entonces no encontrarás esto convincente.
Derivar la ecuación de Schrödinger a través de integrales de ruta puede ser como máximo una derivación "física", pero nunca una deivación matemática, ya que las integrales de ruta en el sentido de Feynman no tienen un significado matemático.
@LoveLearning Vea mi respuesta recién agregada para obtener más aclaraciones.
@ACuriousMind +1: Creo que voy a hacer una camiseta que diga "Todo depende de dónde quieras comenzar" y comenzar a venderla. De esa manera, puedes señalar tu cofre la próxima vez. También me beneficiaré enormemente de usarlo cuando camine por el campus. ¿Puedo marcarte un pedido?

Phonon · Answer 2

Pequeña adición a la gran respuesta de ACuriousMind, en respuesta a algunos de los comentarios que solicitan una derivación de la ecuación de onda de Schrödinger , utilizando los resultados del formalismo integral de la trayectoria de Feynman :

(Nota: no todos los pasos se pueden incluir aquí, sería demasiado largo permanecer en el contexto de un foro de discusión-respuesta).

En el formalismo integral del camino, a cada camino se le atribuye una función de onda $Φ [x (t)]$ $Φ [x (t)]$ $Φ [X (t)]$ , eso contribuye a la amplitud total, por ejemplo, para ir de $a$ $a$ $un$ a $b .$ $b .$ $si .$ los $Φ$ $Φ$ $Φ$ 's tienen la misma magnitud pero tienen diferentes fases, lo cual es dado por la acción clásica $S$ $S$ $S$ como se definió en el formalismo lagrangiano de la mecánica clásica. Hasta ahora tenemos:

S [X (t)] = \int_{t_{un}}^{t_{si}} L (\dot{X}, X, t) re t

y

Φ [X (t)] = {mi}^{(yo / / ℏ) S [X (t)]}

Denotando la amplitud total $K (a, b)$ $K (a, b)$ $K (a, b)$ $K (a, b)$ $K (un, si)$ , dada por:

K (un, si) = \sum_{pag un t h s - un - t o - si} Φ [X (t)]

La idea de abordar la ecuación de onda, describiendo las funciones de onda en función del tiempo, deberíamos comenzar dividiendo el intervalo de tiempo entre $a$ $a$ $un$ - $b$ $b$ $si$ dentro $N$ $N$ $norte$ pequeños intervalos de longitud $ϵ$ $ϵ$ $ϵ$ , y para una mejor notación, usemos $x_{k}$ $x_{k}$ $x_{k}$ $x_{k}$ $X_{k}$ para un camino dado entre $a$ $a$ $un$ - $b$ $b$ $si$ y denota la amplitud completa, incluida su dependencia del tiempo como $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (x_{k}, t)$ $ψ (X_{k}, t)$ ( $x_{k}$ $x_{k}$ $x_{k}$ $x_{k}$ $X_{k}$ asumido el control de una región $R$ $R$ $R$ ):

ψ (X_{k}, t) = lim_{ϵ \to 0 0} \int_{R} Exp [\frac{yo}{ℏ} \sum_{yo = - \infty}^{+ \infty} S (X_{yo + 1}, X_{yo})] \frac{re X_{k - 1}}{UN} \frac{re X_{k - 2}}{UN} . . . \frac{re X_{k + 1}}{UN} \frac{re X_{k + 2}}{UN} . . .

Ahora considere la ecuación anterior si queremos saber la amplitud en el próximo instante en el tiempo $t + ϵ$ $t + ϵ$ $t + ϵ$ :

ψ (X_{k + 1}, t + ϵ) = \int_{R} Exp [\frac{yo}{ℏ} \sum_{yo = - \infty}^{k} S (X_{yo + 1}, X_{yo})] \frac{re X_{k}}{UN} \frac{re X_{k - 1}}{UN} . . .

Lo anterior es similar a la ecuación que lo precede, la diferencia se basa en la pista de que, el factor agregado con $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $\exp (i / ℏ) S (x_{k + 1}, x_{k})$ $Exp (yo / / ℏ) S (X_{k + 1}, X_{k})$ no implica ninguno de los términos $x_{i}$ $x_{i}$ $x_{i}$ $x_{i}$ $X_{yo}$ antes de $i < k$ $i < k$ $yo < k$ , por lo que la integración se puede realizar con todos estos términos factorizados. Todo esto reduce la última ecuación a:

ψ (X_{k + 1}, t + ϵ) = \int_{R} Exp [\frac{yo}{ℏ} \sum_{yo = - \infty}^{k} S (X_{yo + 1}, X_{yo})] ψ (X_{k}, t) \frac{re X_{k}}{UN}

Ahora una cita del artículo original de Feynman, con respecto al resultado anterior:

Esta relación da el desarrollo de $ψ$ $ψ$ $ψ$ con el tiempo se mostrará, por ejemplos simples, con la elección adecuada de $A$ $A$ $UN$ , para ser equivalente a la ecuación de Schroedinger. En realidad, la ecuación anterior no es exacta, pero solo es cierta en el límite $ϵ \to 0$ $ϵ \to 0$ $ϵ \to 0 0$ y derivaremos la ecuación de Schroedinger asumiendo que esta ecuación es válida de primer orden en $ϵ$ $ϵ$ $ϵ$ . Lo anterior solo necesita ser cierto para los pequeños $ϵ$ $ϵ$ $ϵ$ al primer orden en $ϵ .$ $ϵ .$ $ϵ .$

En su artículo original, siguiendo los cálculos de 2 páginas más, desde donde dejamos las cosas, muestra que:

Cancelado $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ desde ambos lados, y comparando términos con primer orden en $ϵ$ $ϵ$ $ϵ$ y multiplicando por $- ℏ / i$ $- ℏ / i$ $- ℏ / i$ $- ℏ / i$ $- ℏ / / yo$ Se obtiene

- \frac{ℏ}{yo} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{1}{2 metro} {(\frac{ℏ}{yo} \frac{\partial}{\partial X})}^{2} ψ + V (X) ψ

que es la ecuación de Schroedinger.

Le recomiendo encarecidamente que lea su artículo original, no se preocupe, está muy bien escrito y es legible.

Referencias: Enfoque espacio-temporal de la mecánica cuántica no relativista por RP Feynman, abril de 1948.

Integrales de Feynman Path en mecánica cuántica, por Christian Egli

La ecuación de Schroedinger es simplemente el hamiltoniano, es decir. Cinética + Energía potencial como una función de momentos y coordenadas solas, escrita con operadores cuánticos para el momento que reemplaza la definición clásica de momento. La ecuación de Hamilton es bien conocida por la física clásica, se ha probado durante ~ 2 siglos y es fácil de usar. La única idea "nueva" es el operador Quantum para el impulso, que no es intuitivo ni obvio, pero se usa porque da la respuesta correcta.
¿Tiene, por casualidad, un enlace a los documentos de Schroedinger en inglés?
@MadPhysicist desafortunadamente no puedo encontrar los primeros en inglés, pero al menos está su artículo sobre "Una teoría ondulatoria de la mecánica de los átomos y las moléculas" . Entre los primeros de Heisenberg y luego de Schrödinger estaban "Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen". y "Quantisierung als Eigenwertproblem" respectivamente. Intenta buscar la traducción al inglés de estos. ¿En qué estás exactamente interesado? Quizás pueda recomendarte material más moderno.
Estaba particularmente interesado en sus documentos relacionados con la expansión del trabajo de De Broglie y la producción de la ecuación de Schroedinger.

docscience · Answer 3

Según Richard Feynman en sus conferencias sobre Física, volumen 3, y parafraseado "La ecuación de Schrodinger no se puede derivar". Según Feynman, Schrodinger lo imaginó, y simplemente proporciona las predicciones del comportamiento cuántico.

Eso fue en la década de 1960. Pero también encontré este artículo de 2006 en el American Journal of Physics: arxiv.org/abs/physics/0610121 que afirma una derivación.

Christoph · Answer 4

Las leyes fundamentales de la física no se pueden derivar (tortugas hasta el fondo y todo eso).

Sin embargo, pueden estar motivados de varias maneras. Dejando de lado la evidencia experimental directa, puede argumentar por analogía: en el caso de la ecuación de Schrödinger, se han hecho comparaciones con la mecánica hamiltoniana y la ecuación Hamilton-Jacobi, la dinámica de fluidos, el movimiento browniano y la óptica.

Otro enfoque es argumentar por 'belleza' matemática o necesidad: puede ver varias formas de modelar el sistema e ir con el enfoque más elegante consistente con las restricciones que impuso (es decir, razonar en la línea de 'mecánica cuántica es la única manera de hacerlo X 'para valores' naturales 'o experimentalmente necesarios de X).

MadPhysicist · Answer 5

Si bien en general es imposible derivar las leyes de la física en el sentido matemático de la palabra, la mayor parte del tiempo se puede dar una fuerte motivación o razón. Tal imposibilidad surge de la naturaleza misma de las ciencias físicas que intentan extender la lógica de la mente humana a imperfecciones sobre los fenómenos naturales que nos rodean. Al hacerlo, a menudo hacemos conexiones o corazonadas intuitivas que resultan exitosas para explicar los fenómenos en cuestión. Sin embargo, si uno tuviera que señalar qué secuencia lógica se usó para producir la corazonada, estaría perdido; la mayoría de las veces, esa secuencia lógica simplemente no existe.

La "derivación" de la ecuación de Schroedinger y su desempeño exitoso para explicar varios fenómenos cuánticos es uno de los mejores ejemplos (leer audaces, alucinantes y exitosos) del pensamiento intuitivo y la hipótesis que conducen a un gran éxito. Lo que mucha gente extraña es que Schroedinger simplemente llevó las ideas de Luis de Broglie a una conclusión audaz.

En 1924 de Broglie sugirió que cada partícula en movimiento podría tener un fenómeno de onda asociado. Tenga en cuenta que no dijo que cada partícula era una onda o viceversa. En cambio, simplemente estaba tratando de comprender los extraños resultados experimentales que se produjeron en ese momento. En muchos de estos experimentos, las cosas que normalmente se comportaban como partículas también exhibían un comportamiento ondulatorio. Es este enigma el que llevó a De Broglie a producir su famosa hipótesis de $λ = \frac{h}{p}$ $λ = \frac{h}{p}$ $λ = \frac{h}{p}$ $λ = \frac{h}{p}$ $λ = \frac{h}{pag}$ . A su vez, Schroedinger utilizó esta hipótesis, así como el resultado de Planck y Einstein ( $E = h ν$ $E = h ν$ $E = h ν$ $E = h ν$ $mi = h ν$ ) para producir su ecuación homónima.

Tengo entendido que Schroedinger trabajó originalmente usando el formalismo de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica para obtener su ecuación. En esto, siguió al mismo De Broglie, quien también utilizó este formalismo para producir algunos de sus resultados. Si uno conoce este formalismo, realmente puede seguir los pasos del pensamiento original. Sin embargo, hay una forma más simple y directa de producir la ecuación.

A saber, considere un fenómeno armónico básico:

$y = A s i n (w t - δ)$ $y = A s i n (w t - δ)$ $y = A s i n (w t - δ)$ $y = A s i n (w t - δ)$ $y = A s i n (w t - δ)$ $y = A s i n (w t - δ)$ $y = UN s yo norte (w t - δ)$

para una partícula que se mueve a lo largo del $x$ $x$ $X$ -eje,

$y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = A s i n \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{x}{v})$ $y = UN s yo norte \frac{2 π v}{λ} (t - \frac{X}{v})$

Supongamos que tenemos una partícula moviéndose a lo largo del $x$ $x$ $X$ -eje. Llamemos a la función de onda (similar al campo eléctrico de un fotón) asociada a ella. $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (X, t)$ . No sabemos nada sobre esta función en este momento. Simplemente le dimos un nombre al fenómeno que los experimentadores observaban y seguían la hipótesis de De Broglie.

La función de onda más básica tiene la siguiente forma: $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = A e^{- i ω (t - \frac{x}{v})}$ $ψ = UN {mi}^{- yo ω (t - \frac{X}{v})}$ , dónde $v$ $v$ $v$ es la velocidad de la partícula asociada con este fenómeno de onda.

Esta función puede reescribirse como

$ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = A e^{- i 2 π ν (t - \frac{x}{ν λ})} = A e^{- i 2 π (ν t - \frac{x}{λ})}$ $ψ = UN {mi}^{- yo 2 π ν (t - \frac{X}{ν λ})} = UN {mi}^{- yo 2 π (ν t - \frac{X}{λ})}$ , dónde $ν$ $ν$ $ν$ - la frecuencia de las oscilaciones y $E = h ν$ $E = h ν$ $E = h ν$ $E = h ν$ $mi = h ν$ . Vemos eso $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{E}{2 π ℏ}$ $ν = \frac{mi}{2 π ℏ}$ Este último es, por supuesto, el resultado de Einstein y Planck.

Traigamos el resultado de De Broglie a este pensamiento explícitamente:

$λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{p} = \frac{2 π ℏ}{p}$ $λ = \frac{h}{pag} = \frac{2 π ℏ}{pag}$

Sustituyamos los valores de los resultados de De Broglie y Einstein en la fórmula de la función de onda.

$ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = A e^{- i 2 π (\frac{E t}{2 π ℏ} - \frac{x p}{2 π ℏ})} = A e^{- \frac{i}{ℏ} (E t - x p)} (*)$ $ψ = UN {mi}^{- yo 2 π (\frac{mi t}{2 π ℏ} - \frac{X pag}{2 π ℏ})} = UN {mi}^{- \frac{yo}{ℏ} (mi t - X pag)} (*)$

Esta es una función de onda asociada con el movimiento de una partícula no restringida de energía total $E$ $E$ $mi$ impulso $p$ $p$ $pag$ y avanzando por lo positivo $x$ $x$ $X$ -dirección.

Sabemos por la mecánica clásica que la energía es la suma de las energías cinética y potencial.

$E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $E = K . E . + P . E . = \frac{m v^{2}}{2} + V = \frac{p^{2}}{2 m} + V$ $mi = K . mi . + PAG . mi . = \frac{metro v^{2}}{2} + V = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + V$

Multiplique la energía por la función de onda para obtener lo siguiente:

$E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $mi ψ = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} ψ + V ψ$

Luego, la razón es obtener algo parecido a la ecuación de onda de la electrodinámica. Es decir, necesitamos una combinación de derivadas de espacio y tiempo que puedan vincularse de nuevo a la expresión de la energía.

Vamos a diferenciar ahora $(*)$ $(*)$ $(*)$ con respecto a $x$ $x$ $X$ .

$\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial x} = A (\frac{i p}{ℏ}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)}$ $\frac{\partial ψ}{\partial X} = UN (\frac{yo pag}{ℏ}) {mi}^{\frac{- yo}{ℏ} (mi t - X pag)}$

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = - A (\frac{p^{2}}{ℏ^{2}}) e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{p^{2}}{ℏ^{2}} ψ$ $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} = - UN (\frac{{pag}^{2}}{ℏ^{2}}) {mi}^{\frac{- yo}{ℏ} (mi t - X pag)} = \frac{{pag}^{2}}{ℏ^{2}} ψ$

Por lo tanto, $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ $p^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}$ ${pag}^{2} ψ = - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}$

La derivada del tiempo es la siguiente:

$\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - A \frac{i E}{ℏ} e^{\frac{- i}{ℏ} (E t - x p)} = \frac{- i E}{ℏ} ψ$ $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - UN \frac{yo mi}{ℏ} {mi}^{\frac{- yo}{ℏ} (mi t - X pag)} = \frac{- yo mi}{ℏ} ψ$

Por lo tanto, $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $E ψ = \frac{- ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t}$ $mi ψ = \frac{- ℏ}{yo} \frac{\partial ψ}{\partial t}$

La expresión de energía que obtuvimos anteriormente fue $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $E ψ = \frac{p^{2}}{2 m} ψ + V ψ$ $mi ψ = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} ψ + V ψ$

Sustituyendo los resultados que involucran derivadas de tiempo y espacio en la expresión de energía, obtenemos

$\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- i}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + V ψ$ $\frac{- yo}{ℏ} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + V ψ$

Esto, por supuesto, se hizo más conocido como la ecuación de Schroedinger.

Hay varias cosas interesantes en esta "derivación". Una es que tanto la cuantificación de Einstein como la hipótesis de la materia ondulada de De Broglie se usaron explícitamente. Sin ellos, sería muy difícil llegar a esta ecuación intuitivamente a la manera de Schroedinger. Además, la ecuación resultante difiere en forma de la ecuación de onda estándar tan conocida de la electrodinámica clásica. Lo hace porque se invierten los órdenes de diferenciación parcial con respecto a las variables de espacio y tiempo. Si Schrodinger hubiera estado tratando de igualar la forma de la ecuación de onda clásica, probablemente no habría llegado a ninguna parte.

Sin embargo, dado que buscó algo que contenga $p^{2} ψ$ $p^{2} ψ$ $p^{2} ψ$ $p^{2} ψ$ $p^{2} ψ$ $p^{2} ψ$ ${pag}^{2} ψ$ y $E ψ$ $E ψ$ $E ψ$ $E ψ$ $mi ψ$ , el orden correcto de los derivados estaba esencialmente predeterminado para él.

Nota: No estoy afirmando que esta derivación siga el trabajo de Schroedinger. Sin embargo, el espíritu, el pensamiento y la intuición de los tiempos están más o menos preservados.

Calmarius · Answer 6

En Matemáticas derivas teoremas de axiomas y los teoremas existentes.

En Física, deriva leyes y modelos de las leyes, modelos y observaciones existentes.

En este caso, podemos comenzar desde las observaciones en efecto fotoeléctrico para obtener la relación entre la energía y la frecuencia de los fotones. Luego continúe con la relatividad especial donde observamos que la velocidad de la luz es constante en todos los marcos de referencia. De esto, al generalizar la energía cinética, podemos obtener la equivalencia de energía de masa. Combinando los dos podemos asignar masa al fotón, en consecuencia, podemos obtener el impulso de un fotón en función del número de onda.

Generalizando la relación energía-frecuencia y el momento-número de onda cuando tienen las relaciones De-Broglie . Que es aplicable a cualquier partícula.

Suponiendo que una partícula tiene energía 0 cuando se detiene ( puede hacerlo ), aunque no causa demasiados problemas si deja el término constante allí, en las fases posteriores simplemente puede colocarla en el lado izquierdo del ecuación. Podemos lidiar con la energía cinética. Sustituyendo la cinética no relativista en la relación y reordenando podemos tener la siguiente relación de dispersión:

ω = \frac{ℏ k^{2}}{2 metro}

La ecuación de onda puede derivarse de la relación de dispersión de las ondas de materia utilizando la forma que mencioné en esa respuesta .

En este caso necesitaremos la derivada laplaciana y la primera vez:

\nabla^{2} Ψ + \partial_{t} Ψ = - k^{2} Ψ - \frac{yo ℏ k^{2}}{2 metro} Ψ

Multiplicando la derivada del tiempo con $- \frac{2 m}{i ℏ}$ $- \frac{2 m}{i ℏ}$ $- \frac{2 m}{i ℏ}$ $- \frac{2 m}{i ℏ}$ $- \frac{2 metro}{yo ℏ}$ , podemos poner a cero el lado derecho:

\nabla^{2} Ψ - \frac{2 metro}{yo ℏ} \partial_{t} Ψ = - k^{2} Ψ + k^{2} Ψ = 0 0

Podemos reordenarlo para obtener la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de una partícula libre:

\partial_{t} Ψ = \frac{yo ℏ}{2 metro} \nabla^{2} Ψ

JG · Answer 7

En mi opinión, hay dos sentidos en los que podemos "derivar" un resultado en física. Las nuevas teorías intentan abordar las deficiencias de las anteriores mejorando lo que ya tenemos, dando nuevos resultados. También recuperan viejos resultados. Supongo que podemos llamar a ambas derivaciones.

Por ejemplo, el TISE y el TDSE se obtuvieron primero porque la mecánica cuántica decía eso, donde la mecánica clásica implicaría $f = 0$ $f = 0$ $f = 0$ $f = 0$ $F = 0 0$ , Nosotros deberíamos tener $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $\hat{F} El | ψ ⟩ = 0 0$ , con $\hat{f}$ $\hat{f}$ $\hat{f}$ $\hat{f}$ $\hat{F}$ la promoción del operador de $f$ $f$ $F$ , que en este caso es $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $f = E - \frac{p^{2}}{2 m} - V$ $F = mi - \frac{{pag}^{2}}{2 metro} - V$ con operadores $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $E = i ℏ \partial_{t}, p = - i ℏ \nabla$ $mi = yo ℏ \partial_{t}, pag = - yo ℏ \nabla$ . (Algunos resultados se vuelven más débiles $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ | \hat{f} | ψ ⟩ = 0$ $⟨ ψ El | \hat{F} El | ψ ⟩ = 0 0$ por ejemplo con $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $f = \frac{d p}{d t} + \nabla V$ $F = \frac{re pag}{re t} + \nabla V$ , así que no estoy siendo completamente honesto aquí. Pero esperamos $\hat{E}$ $\hat{E}$ $\hat{E}$ $\hat{E}$ $\hat{mi}$ los estados propios son importantes porque la distribución de probabilidad de $E$ $E$ $mi$ está conservado)

Tenga en cuenta que el párrafo anterior resume cómo se derivó Schrödinger en el primer sentido, y su paréntesis final insinúa cómo se "derivó" la segunda ley de Newton en mi segundo sentido. Y todos los que hablan de integrales de ruta insinúan una derivación de tipo 2 para ambos resultados (las integrales de ruta obtienen una amplitud de transición en términos de $e^{i S}$ $e^{i S}$ $e^{i S}$ $e^{i S}$ ${mi}^{yo S}$ con $S$ $S$ $S$ la acción clásica ahora sale milagrosamente de un sombrero, por lo que técnicamente nuestra recuperación directa es de la mecánica lagrangiana en lugar de la formulación newtoniana equivalente).

Dejaré que la gente pelee por qué tipo de derivación es "válida" o "mejor", pero el conocimiento físico requiere dosis frecuentes de ambas. Creo que vale la pena distinguirlos en una discusión como esta.

¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

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