Funciones propias del vector Runge-Lenz

Question

Funciones propias del vector Runge-Lenz

Física
Valor-propio
Mecánica-cuántica
Laplace-runge-lenz-vector

Emilio Pisanty

El hamiltoniano para el átomo de hidrógeno,

H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} - \frac{k}{r}

es esféricamente simétrica y, por lo tanto, conmuta con el momento angular

L

L

L

; esto causa todas sus funciones propias con un número de momento angular igual

l

l

l

pero número cuántico magnético arbitrario

m

m

metro

estar degenerado en energía.

El átomo de hidrógeno también tiene una degeneración adicional, ya que, dado cualquier momento angular, generalmente hay otros $l$ $l$ $l$ s con la misma energía. Esta degeneración se debe a la existencia de una segunda constante de movimiento, generalmente llamada vector Laplace-Runge-Lenz ,

UN = \frac{1}{2 metro} (pag \times L - L \times pag) - k \frac{r}{r},

que es el generador de una simetría aún mayor, que es isomórfica para los estados unidos al grupo

S O (4)

S O (4)

S O (4 4)

de rotaciones en cuatro dimensiones, del problema de Kepler.

El vector Runge-Lenz también tiene una rica interpretación geométrica. Para una órbita elíptica clásica, apunta desde el foco hasta la periapsis y su magnitud es proporcional a la excentricidad de la órbita. Para órbitas circulares, se desvanece.

ingrese la descripción de la imagen aquí

^{Fuente de la imagen: Wikipedia}

El átomo de hidrógeno generalmente se describe en la base propia común del momento hamiltoniano y angular, con los números cuánticos bien conocidos y queridos $| n l m ⟩$ $| n l m ⟩$ $| n l m ⟩$ $El | norte l metro ⟩$ . Sin embargo, el vector Runge-Lenz $A$ $A$ $UN$ También es una constante del movimiento.

¿Cómo son sus funciones propias?

Más concretamente, estoy buscando la estructura espacial de las funciones propias comunes de $H$ $H$ $H$ y al menos un componente de $A$ $A$ $UN$ , y posiblemente también de $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${UN}^{2}$ (que, en analogía con las funciones propias comunes de $H$ $H$ $H$ , $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ y $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ , es lo máximo que uno podría esperar), y si eso no es posible, entonces una explicación de por qué, y una descripción de los números cuánticos adecuados para completar un CSCO Me gustaría saber cuáles son sus valores propios correspondientes y cuál es la incertidumbre de los otros componentes, si se puede asignar una excentricidad clásica al orbital y, más en general, en relación con la geometría clásica correspondiente.

Olof

Se dan explícitamente en Robert Gilmore, "Grupos de mentiras, física y geometría", Capítulo 14 (que acabo de encontrar en un rápido google en busca de consejos de Trimok).

Emilio Pisanty

@Olof, si bien ese enlace contiene tales funciones propias, estoy principalmente interesado en la estructura espacial de las funciones propias, cuáles son sus valores propios asociados, el valor esperado y la incertidumbre de

A

A

UN

en esos estados, y más generalmente en la imagen espacial y la intuición detrás de ellos.

Respuestas (2)

Funciones propias del vector Runge-Lenz

Se dan explícitamente en Robert Gilmore, "Grupos de mentiras, física y geometría", Capítulo 14 (que acabo de encontrar en un rápido google en busca de consejos de Trimok).
@Olof, si bien ese enlace contiene tales funciones propias, estoy principalmente interesado en la estructura espacial de las funciones propias, cuáles son sus valores propios asociados, el valor esperado y la incertidumbre de $A$ $A$ $UN$ en esos estados, y más generalmente en la imagen espacial y la intuición detrás de ellos.

Olof · Answer 1

Su comentario me inspiró a trazar algo en Mathematica :)

Después de la discusión en el Capítulo 14 de "Grupos de mentiras, física y geometría de Robert Gilmore", los estados propios son dados por los estados $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ $S U (2) \times S U (2)$ estados con números cuánticos $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $El | j_{1}, {metro}_{1}; j_{2}, {metro}_{2} ⟩$ con la condición adicional $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ $j_{1} = j_{2}$ . (Tenga en cuenta que la parte radial es irrelevante para la discusión). Los generadores de los dos $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ : s están dados por $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + A^{'})$ $J_{1} = \frac{1}{2} (L + {UN}^{'})$ y $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - A^{'})$ $J_{2} = \frac{1}{2} (L - {UN}^{'})$ , dónde

{UN}^{'} = \sqrt{- \frac{metro}{2 H}} UN

El estado

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩

El | j_{1}, {metro}_{1}; j_{2}, {metro}_{2} ⟩

entonces tiene valores propios

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

j_{1} (j_{1} + 1)

y

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

j_{2} (j_{2} + 1)

debajo

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

J_{1}^{2}

y

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

J_{2}^{2}

, respectivamente, mientras

m_{1}

m_{1}

m_{1}

m_{1}

{metro}_{1}

y

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

{metro}_{2}

son los valores propios bajo el

z

z

z

-componentes de

J_{1}

J_{1}

J_{1}

J_{1}

J_{1}

y

J_{2}

J_{2}

J_{2}

J_{2}

J_{2}

.

Es sencillo descomponer dicho estado en términos de estados propios de la diagonal $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ $S U (2)$ simetría correspondiente al momento angular, siendo los coeficientes los coeficientes estándar de Clebsch-Gordan . Es bastante tedioso hacer esto a mano, pero afortunadamente se puede automatizar completamente usando Mathematica. El siguiente código construye el estado propio $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $| J, M_{1}; J, M_{2} ⟩$ $El | J, {METRO}_{1}; J, {METRO}_{2} ⟩$ en términos de armónicos esféricos (la advertencia que a veces produce no es nada grave).

 eigenstate[J_, M1_, M2_] := Sum[ClebschGordan[{J, M1}, {J, M2}, {j, M1 + M2}] SphericalHarmonicY[j, M1 + M2, \[Theta], \[Phi]], {j, 0, 2 J}]

Ahora solo necesitamos trazarlo usando, por ejemplo, el código

 SphericalPlot3D[Abs[eigenstate[1, 1, -1]]^2, {\[Theta], 0, \[Pi]}, {\[Phi], 0, 2 \[Pi]}, PlotRange -> {{-0.25, 0.25}, {-0.25, 0.25}, {-0.7, 0.7}}]

Esto produce la siguiente gráfica para la distribución de probabilidad en el estado $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $| 1, 1; 1, - 1 ⟩$ $El | 1, 1; 1, - 1 ⟩$ :

Parcela de | 1,1; 1, -1>

Aquí están los estados $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $| 1 / 2, - 1 / 2; 1 / 2, 1 / 2 ⟩$ $El | 1 / / 2, - 1 / / 2; 1 / / 2, 1 / / 2 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $| 1, 1; 1, 0 ⟩$ $El | 1, 1; 1, 0 0 ⟩$ , $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $| 1, 0; 1, 0 ⟩$ $El | 1, 0 0; 1, 0 0 ⟩$ y $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $| 1, 0; 1, 1 ⟩$ $El | 1, 0 0; 1, 1 ⟩$ :

Parcela de | 1/2, -1 / 2; 1 / 2,1 / 2> Parcela de | 1,1; 1,0> Parcela de | 1,0; 1,0> Parcela de | 1,0; 1,1>

El cuarto estado es el reflejo del segundo. Tenga en cuenta que los ejes en el primero son un poco diferentes a los de los otros tres.

Si bien es fácil hacer más tramas, es más divertido jugar con ellos en Mathematica, donde puedes rotarlos y es más fácil ver los detalles.

¿Podría comentar sobre qué componente de $A$ $A$ $UN$ estos son estados propios y ¿cuáles son sus valores propios?
@EmilioPisanty: los valores propios son los giros totales y los componentes z de $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / 2 (L \pm A^{'})$ $1 / / 2 (L \pm {UN}^{'})$ , dónde $A^{'}$ $A^{'}$ $A^{'}$ $A^{'}$ ${UN}^{'}$ es $A$ $A$ $UN$ hasta un cambio de escala.
@ EmilioPisanty: Así que ahora me doy cuenta de que entendí mal su pregunta. Querías las funciones propias de $A$ $A$ $UN$ no del $S O (4)$ $S O (4)$ $S O (4)$ $S O (4)$ $S O (4 4)$ simetría...

suresh · Answer 2

Creo que no tiene sentido pedir funciones propias del vector Runge-Lenz. La razón es que el conmutador de dos componentes del vector Runge-Lenz, $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[A_{x}, A_{y}]$ $[{UN}_{X}, {UN}_{y}]$ es proporcional a $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ . Lo mejor que se puede hacer es exigir que sea una función propia de cualquiera de los componentes, digamos $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${UN}_{z}$ junto con los dos Casimirs $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ y $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ . Entonces la respuesta de Olof anterior es la mejor que se puede hacer. Es un ejercicio sencillo, posiblemente tedioso, calcular el valor esperado $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ A_{x} ⟩$ $⟨ {UN}_{X} ⟩$ en cualquiera de estos estados El principio de incertidumbre generalizada (también conocido como relación Robertson-Schrodinger) puede usarse para estimar $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ A_{x} Δ A_{y}$ $Δ {UN}_{X} Δ {UN}_{y}$ en cualquier estado

Por supuesto, eso es de esperar. Tal como $H$ $H$ $H$ solo tiene funciones propias comunes con $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ y decir, $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ , uno esperaría las funciones propias comunes de $H$ $H$ $H$ y " $A$ $A$ $UN$ "ser estados propios de $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${UN}_{z}$ y posiblemente $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${UN}^{2}$ . Es una pregunta perfectamente bien formulada, junto con la pregunta de cómo la geometría de esas funciones propias se relacionan con las órbitas clásicas correspondientes. Eres bienvenido a no encontrar la pregunta interesante, por supuesto.
Mi comentario es técnico y no se trata de que su pregunta sea interesante o no. Sería bueno si $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ $A^{2}$ ${UN}^{2}$ conmutado con $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ $A_{z}$ ${UN}_{z}$ Pero no lo hace. Si lo hiciera, sería un Casimir, ya que conmuta con $L$ $L$ $L$ .
@ Emilio Si te ayuda, en la notación de Olof, en el estado $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $| j_{1}, m_{1}; j_{2}, m_{2} ⟩$ $El | j_{1}, {metro}_{1}; j_{2}, {metro}_{2} ⟩$ , el valor propio de $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ $A_{z}^{'}$ ${UN}_{z}^{'}$ es $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $(m_{1} - m_{2})$ $({metro}_{1} - {metro}_{2})$ mientras que el valor propio de $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ $L_{z}$ es $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $(m_{1} + m_{2})$ $({metro}_{1} + {metro}_{2})$ .
Re: tu primer comentario: Eso es bastante interesante. Supongo que el único otro tercer número cuántico posible es $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ , que debe conmutar con todas las cantidades vectoriales.
$L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ tampoco funciona como un buen número cuántico si usa algo relacionado con el vector Runge-Lenz. Sumar y restar $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ $J_{2}^{2}$ a $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ $J_{1}^{2}$ da $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {A^{'}}^{2}$ $L^{2} + {UN}^{'}^{2}$ y $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot {UN}^{'}$ hasta constantes multiplicativas. Entonces $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot A^{'}$ $L \cdot {UN}^{'}$ se puede usar como otro número cuántico.

Funciones propias del vector Runge-Lenz

Emilio Pisanty

¿Cómo son sus funciones propias?

Olof

Emilio Pisanty

Respuestas (2)

Olof

Emilio Pisanty

Olof

Olof

Emilio Pisanty

suresh

Emilio Pisanty

suresh

suresh

Emilio Pisanty

suresh

Estados coherentes e integridad

¿Sobre la naturaleza compleja de la función de onda?

Construyendo soluciones a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Ayuda a un físico aspirante a qué estudiar por sí mismo [cerrado]

Unicidad de la función de probabilidad para la ecuación de Schrödinger

¿Cómo se puede derivar la ecuación de Schrödinger?

Matriz de acoplamiento orbital de giro en base p-orbital

¿Cómo reescribe una función de transferencia en forma estándar?

Geometría del agujero negro de Schwarzschild en coordenadas Novikov

Sourcing slim 3.5mm estéreo jack enchufes [cerrado]