Una vez que calculo el tensor de curvatura de Riemann, ¿qué hago con él?

Estoy considerando la métrica de Schwarzschild. He calculado mis símbolos de Christoffel y puedo calcular el tensor de Riemann (creo). En resumen, he trabajado mucho para encontrar esto llamado tensor de curvatura de Riemann. Según tengo entendido, si tomo un vector Z en un punto de mi múltiple, R ( X , Y ) Z me da la diferencia entre mi vector original y el transportado en paralelo. Pero realmente no sé qué hacer a continuación. Quiero usar este tensor para calcular alguna pieza útil de información física. Por ejemplo, puedo usar

v F = v i + a t
para calcular la velocidad final de un objeto que se deja caer durante un tiempo t y una aceleración a = gramo . Este es un ejemplo de una aplicación que produce información interesante/útil. Quiero algo que me permita hacer algo igualmente interesante con mi tensor de curvatura.

Mi pregunta:

¿Alguien puede darme un ejemplo de lo que puedo hacer con mi tensor de curvatura? ¿Cuál es un ejemplo de una aplicación útil?

EDITAR: En la página 118 de Wald, dice

Sin embargo, la solución de Schwarzschild, que describe el campo exterior exacto del cuerpo esférico, predice pequeñas desviaciones de la teoría newtoniana para el movimiento de los planetas en nuestro sistema solar y, además, predice la "flexión de la luz", el corrimiento al rojo gravitacional de la luz. y efectos de "retardo de tiempo". Estas cuatro predicciones han sido confirmadas con precisión por mediciones precisas.

Por lo tanto, asumo entonces que uno de esos cuatro ejemplos debe requerir el uso del tensor de Riemann de alguna manera. Tal vez alguien pueda explicar cuál(es) hacen y cómo podría usar mi tensor de curvatura para describir estos fenómenos.

De memoria, pruebe primero la solución de schwardschild, menos variables, solo r y t, menos trabajo pesado si puede mantener fijas las variables angulares. Todavía usa la ecuación de Einstein pero omite partes no esenciales
Para ampliar un poco, es la ecuación de Einstein con rhs establecido en cero, espacio vacío y constante cosmológica omitida. Nuevamente, esto es de memoria, pero me resultó más fácil seguir las implicaciones del espacio curvo. Disculpa si he entendido mal tu pregunta
¿Por qué igualamos el Tensor de Energía-Esfuerzo a cero?
O más bien, ¿por qué estamos considerando el espacio vacío? Pensé que el punto era considerar algo con la influencia de la gravedad...
Fuera del agujero negro se supone que no hay energía ni masa, por lo que es una ecuación homogénea. Menos variables de las que preocuparse, luego pruebe la solución kerr para rotar bh. Verá lo que quiero decir cuando lo pruebe :)
Cuando hagas la solución de schwardschild, entrarás en los efectos de la gravedad en el borde del bh, así que créeme un poco, la gravedad entra cuando lo resuelves, dentro del bh saludos
Para las cosas que describe Wald, normalmente no usas el tensor de Reimann, sino la conexión o solo la métrica en sí. Por ejemplo, la aceleración de una partícula cerca de un agujero negro viene dada por la ecuación geodésica. Es posible que desee intentar algo como derivar las ecuaciones de Friedmann a partir de las ecuaciones de Einstein, pero para eso necesita calcular el tensor de Riemann para la métrica FRW.

Respuestas (2)

Una cosa para la que puede usar el tensor de curvatura es para detectar singularidades en el espacio-tiempo. Para la solución de Schwarzschild, los escalares de curvatura más simples se formaron a partir del tensor de Ricci, R y R a b R a b desaparecen por todas partes debido al hecho de que esta es una solución de vacío a las ecuaciones de Einstein. Pero como tiene a su disposición el tensor de Riemann completo, puede calcular lo que se llama el escalar de Kretschmann, R a b C d R a b C d . Deberías encontrar eso en r = 2 METRO este escalar es finito, mientras que la métrica de Schwarzschild en las coordenadas habituales es singular allí. Esto se debe a que la singularidad en r = 2 METRO en la métrica se debe simplemente a una mala elección de coordenadas. Sin embargo, si evalúas este escalar en r = 0 , encontrará que diverge hasta el infinito, lo que indica una singularidad de curvatura. Esta es una verdadera singularidad que no se puede eliminar con un cambio de coordenadas.

@ 0celo7 Cierto, en general, al usar los escalares de curvatura, no se garantiza que encuentre singularidades. Pero proporciona una condición suficiente útil que se aplica en una gran variedad de casos.
@0celo7 También los universos FRW tienen una singularidad de curvatura en el Big Bang. La tasa de Hubble contribuye a la curvatura del espacio-tiempo y eso diverge en el Big Bang.
Ah, sí, es la curvatura espacial la que es constante. Mis disculpas.

Tienes mal el orden en el que "obtienes" las cosas. Obtienes el tensor de energía-momento de tu teoría específica de la materia. no sabes que gramo a b es. Luego, dadas algunas suposiciones generales sobre su espacio-tiempo, escribe un ansatz para la métrica. Para Schwarzschild, tenemos independencia temporal y S O ( 3 ) isometría Luego, calcula el tensor de Ricci y la curvatura escalar de su ansatz y lo conecta a las ecuaciones de Einstein, con el tensor de impulso de energía obtenido anteriormente en el RHS. Luego resuelves las ecuaciones de Einstein ( 1 ) . Las constantes de integración se determinan por varios métodos.

Todos esos problemas usan la métrica en sí misma en forma de ecuación geodésica, no el tensor de Riemann.

( 1 ) Esto es tan simple como "matar a Batman".

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