¿En qué se diferencian la curvatura espacial y la curvatura temporal?

Debe tener cuidado al tratar una curvatura de tiempo y una curvatura espacial por separado porque esta división no es independiente del observador. En algunos casos, una métrica se puede escribir en coordenadas donde el$dt^2$término es$c^2$(o unidad en unidades geométricas) pero esto es solo una elección de coordenadas.

Si toma, por ejemplo, la métrica FLRW, generalmente la escribimos como:

$$ds^2 = -dt^2 + a(t)\left(dx^2 + dy^2 + dz^2\right)$$

dónde$t$,$x$,$y$y$z$son las coordenadas comovivas. Sin embargo, también se puede escribir usando coordenadas conformes como:

$$ds^2=a(\eta)^2(-d\eta^2+dx^2+dy^2+dz^2)$$

Es la misma métrica, que describe la misma geometría del espacio-tiempo, pero en un caso la coordenada de tiempo parece curva mientras que en el otro caso parece plana. Ambas métricas son descripciones perfectamente buenas de la geometría y elegimos la versión que resulte más conveniente para nuestros propósitos.

Pero volviendo a tu pregunta: la trayectoria de una partícula en caída libre, es decir, su geodésica, está dada por la ecuación geodésica:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$$

en esta ecuacion$\mathbf x$es la posición$(t,x,y,z)$de la partícula en el espacio-tiempo,$\mathbf U$son las cuatro velocidades y los símbolos$\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}$son los símbolos de Christoffel que describen la curvatura del espacio-tiempo. Puedes pensar en esto como una especie de equivalente a la segunda ley de Newton en el sentido de que relaciona la segunda derivada de la posición con la curvatura.

Supongamos que consideramos una partícula estacionaria (es decir, estacionaria en nuestras coordenadas). Dado que la partícula está estacionaria en el espacio, las componentes de las cuatro velocidades$U^x = U^y = U^z = 0$y solo$U^t$es distinto de cero. En ese caso, la ecuación geodésica (1) se simplifica a:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,tt}U^t U^t \tag{2}$$

Calcular los símbolos de Christoffel es una gran molestia a menos que tenga una copia de Mathematica a mano, pero generalmente puede encontrarlos buscando en Google , como de hecho es el caso del agujero de gusano de Ellis (NB, ese enlace es un PDF) y el único Christoffel distinto de cero los símbolos son (los enumeraré todos en caso de que el enlace anterior se rompa):

$$\begin{align} \Gamma^\rho_{\theta\theta} &= -\rho \\ \Gamma^\rho_{\phi\phi} &= -\rho\sin^2\theta \\ \Gamma^\theta_{\theta \rho} = \Gamma^\theta_{\rho\theta} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta\cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\phi \rho} = \Gamma^\phi_{\rho\phi} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\phi_{\phi\theta} &= \Gamma^\phi_{\theta\phi} = cot \theta \end{align}$$

Tenga en cuenta que todos los símbolos$\Gamma^\alpha_{tt}$son cero, por lo que nuestra ecuación geodésica (2) se convierte en:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0$$

O, en otras palabras, en el agujero de gusano de Ellis, una partícula estacionaria permanece estacionaria.

Pero incluso este resultado debe tratarse con cuidado porque debe comprender sus coordenadas para interpretarlo. Para mostrar esto, considere la métrica FLRW a la que me referí anteriormente. No entraré en detalles, pero puede hacer exactamente el mismo cálculo para la métrica FLRW y llegar a la misma conclusión:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0$$

Pero recuerde que en la métrica FLRW las coordenadas son coordenadas convivas, no las coordenadas que usted o yo usamos cuando, por ejemplo, medimos las distancias a galaxias distantes, y las coordenadas convivas se mueven en relación con las coordenadas cotidianas (razón por la cual las galaxias distantes se mueven y, de hecho, acelerando con respecto a nosotros). Incluso cuando encontramos que en un sistema de coordenadas particular una partícula estacionaria permanece estacionaria, esto no significa que en realidad observaríamos que un objeto estacionario permanece estacionario.

(Aunque, como sucede en el espacio-tiempo del agujero de gusano de Ellis, usted y yo observaríamos que un objeto estacionario permanece estacionario).

Creo que esto responde a sus preguntas 1 a 4. En cuanto a sus preguntas 5 y 6, resultó que hice exactamente la misma pregunta en ¿Qué hace que una coordenada sea curva? y la respuesta es que al menos dos curvaturas principales deben ser distintas de cero. Por lo tanto, no puede encontrar un sistema de geometría/coordenadas donde la curvatura esté solo en la coordenada de tiempo.

Considere un marco local de Lorentz,$g_{ij} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$. Un observador (realmente una congruencia de observadores) en reposo con respecto a este marco tiene un vector de velocidad$u^i = \delta^i_0$. No experimenta fuerza (desviación geodésica) si obedece la ecuación geodésica, que en este caso se convierte simplemente$\gamma^i{}_{00} \equiv 0$. Por la compatibilidad de la conexión con la métrica sabemos que$\gamma^i{}_{00} \equiv 0$si y solo si$\gamma^0{}_{i0} \equiv 0$, y de la primera ecuación de Cartan

$$d\omega^i = \omega^j \wedge \gamma^i{}_j = \gamma^i{}_{jk}\omega^j\wedge\omega^k,$$ sabemos que este es ciertamente el caso si $d\omega^0 \equiv 0$. Aquí $\gamma^i{}_j$son las formas de conexión y $\gamma^i{}_{jk}$son los componentes (coeficientes de rotación de Ricci). Dado un conjunto de coordenadas, es natural considerar que un observador es estático si el vector de velocidad está dado por $$u^\mu = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}}\delta^\mu{}_0$$ (aquí dejo $\mu,\nu,\ldots$significan índices de coordenadas). Considerando entonces el caso estático ( $g_{0\mu} \equiv 0$para todos $\mu = 1,2,3$) encontramos que al establecer $e^\mu_0 = u^\mu$tenemos $d\omega^0 \equiv 0$cuando sea $g_{00}$es constante Tal es el razonamiento detrás de la afirmación de que la atracción gravitacional surge de no constante $g_{00}$. Como puede ver, definitivamente es una simplificación.

Como se desprende de la exposición anterior, cualquier observador que no esté en reposo con respecto a nuestro marco de Lorentz local puede experimentar una fuerza (aunque la naturaleza de su correspondencia con las altas velocidades depende de la forma exacta de las formas métricas y/o de conexión).

En cuanto a sus preguntas sobre los efectos de la luz, es importante recordar que la luz sigue geodésicas nulas. Por lo tanto, siempre se verán afectados por la naturaleza de los coeficientes de rotación.$\gamma^i{}_{00}$sino también por al menos algunos otros coeficientes. Se requeriría una velocidad mayor que la de la luz (observador espacial) para escapar a los efectos de$\gamma^i{}_{00}$, pero esto es claramente no físico.

Aunque, como John Rennie vincula en su respuesta, no tiene sentido hablar de curvatura en una dirección, a la luz de las consideraciones anteriores, podríamos considerar el caso en el que$\gamma^i{}_{00} = \gamma^0{}_{i0}$son los únicos coeficientes de rotación distintos de cero. Esto corresponde concretamente al caso más simple de cuanto mayor sea la velocidad con respecto a nuestro marco, menores serán los "efectos de curvatura" en el movimiento (aunque, como se señaló anteriormente, se necesitaría una velocidad mayor que la de la luz para escapar de ellos por completo). Después$d\omega^i \equiv 0$para todos$i = 1,2,3$. Por la segunda ecuación de Cartan

$$d\gamma^i{}_j = \gamma^k{}_j\wedge\gamma^i{}_k + \frac{1}{2}R^i{}_{jk\ell}\omega^k\wedge\omega^\ell,$$ inmediatamente encontramos $$d\gamma^0{}_i = -\gamma^0{}_{i0|j} \omega^0 \wedge \omega^j = R^0{}_{i0j} \omega^0 \wedge \omega^j$$ para dar los únicos (potencialmente) componentes de curvatura distintos de cero, hasta simetrías. Tenga en cuenta que tomamos $i,j \neq 0$, de donde en particular se sigue que el tensor de Ricci es cero si y solo si el tensor de Riemann lo es. Por lo tanto, al menos podemos concluir que tales soluciones no pueden ser el vacío y, por lo tanto, no pueden describir el exterior de ningún objeto.

EDITAR: De hecho, fui un poco perezoso al concluir lo anterior. Haciendo las contracciones e ignorando cualquier constante cosmológica, encontramos que las ecuaciones de campo de Einstein producen$T_{0i} = 0$para todos$i$, por lo que cualquier solución (no plana) debe violar la condición de energía dominante. Por lo tanto, podemos concluir además que tal solución no es física, ya que hay observadores temporales que observan que la energía fluye más rápido que la velocidad de la luz, es decir, vectores temporales.$v^i$tal que$T_i{}^jv^i$es similar al espacio (es decir, todos los observadores no están en reposo con respecto a nuestro marco).