¿Por qué la fuerza en una polea es el doble de la tensión en la cuerda?

La fuerza normal dirigida hacia adentro debida a un tramo corto de la cuerda en la polea es

$${\bf N} = -\hat {\bf r} \frac {T}{R} dl$$ Aquí$T$es la tensión (constante para una polea lisa),$\hat {\bf r}$es la unidad exterior normal y$R$es el radio de la polea. Deducir esta expresión para esta fuerza normal es geométricamente la misma que dar$V^2/R$para la aceleración centrípeta en movimiento circular de velocidad constante.

Ahora, midiendo con el ángulo$\theta=0$en la parte superior de la polea, la componente de esta fuerza hacia abajo es$N \cos\theta$. Por lo tanto, la fuerza total hacia abajo de la polea debido al contacto con la cuerda es

$${F}_{\rm down}= \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \frac{T}{R} \cos \theta Rd\theta\\ =2T.$$ Nosotros usamos$dl=Rd\theta$convertir la longitud en un cambio de ángulo.

No voy a hacer tu caso conflictivo.

Una vez que la fricción está presente, la diferencia es que la tensión en ambos extremos de la cuerda ya no tiene que ser idéntica. Con una polea sin masa o un contacto sin fricción, si las fuerzas en cada extremo fueran diferentes, la cuerda se aceleraría y se movería para reducir la diferencia.

Con fricción y masa en la polea, la fuerza en un extremo no se transmite instantáneamente. En lugar de la tensión, habrá una tensión (posiblemente diferente) en ambos extremos.

Pero en ambos casos, la tensión en cada segmento se transmite a la polea, por lo que la fuerza sobre la polea permanece igual a la suma de las tensiones.