Buscando la mejor manera de encontrar triples pitagóricos donde B−A=±1B−A=±1B-A=\pm1.

El cálculo de las ternas pitagóricas de la forma$T_n=(a_n,a_n+1,c_n)$es equivalente al cálculo de algunos convergentes de la fracción continua de$\sqrt{2}$: En particular

$$[1;\underbrace{2,2,\ldots,2,2}_{2n\text{ times}}]=\frac{2a_n+1}{c_n}$$ dónde $$c_n = \frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}-(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2\sqrt{2}},\qquad 2a_n+1 =\frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}+(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2}=d_n$$ ambos cumplen la recurrencia$\ell_{n+2}=6\ell_{n+1}-\ell_n$. Se pueden expresar en términos de$D_n$y$D_{n+1}$, dónde $$D_n = (3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n =\sigma^n+{\bar{\sigma}}^n$$ es la huella de la$n$-ésima potencia de a$2\times 2$matriz. Esta secuencia cumple

$$D_{2n} = D_n^2-2,\qquad D_{2n+1}=D_n D_{n+1}-6 \tag{R}$$ entonces la pareja$(D_n,D_{n+1})$se puede calcular mediante un algoritmo de repetición de cuadrados. Se espera que un ejemplo concreto aclare cómo . Supongamos que queremos calcular$D_{23}$y$D_{24}$. La representación binaria de$23$es$10111_2$, entonces calculamos las parejas$(D_m,D_{m+1})$para$m=1_2,10_2,101_2,1011_2$y finalmente$10111_2$a través de$(R)$. $$(D_1,D_2)=(6,34)$$ $$(D_2,D_3)= (34,198)$$ $$(D_5,D_6)=(6726,39202)$$ $$(D_{11},D_{12})=(263672646,15367968024)$$ $$(D_{23},D_{24})=(405211279147678086,2361744410637427202)$$ esto nos da$c_{23}$y$d_{23}$, de este modo$T_{23}$, con no más de$3\log_2(23)$multiplicaciones

Respuesta editada...

que comienza con un comentario.

El título Buscando la mejor manera de encontrar ternas pitagóricas donde$B−A=\pm1$es posiblemente engañoso para la pregunta real, que después de muchos comentarios solo puede extraerse del hecho de que la respuesta inicial para el$(A,C)$la recursión (permaneció en la secuela) no es la respuesta deseada. Siempre aclare en el OP cuál es la pregunta (sin alternativas, es mejor expresarla como pregunta, no como un deseo).

El OP ofrece dos formas de construir triples pitagóricos, una es "de un libro" y construye triples$T_x=(A_x,B_x,C_x)$recursivamente, el otro proviene de una fórmula, construye pares intermedios$P_x=(m_x,n_x)$dada por otra recursividad, que puede usarse para reconstruir$(A_x,B_x,C_x)$. Como extraigo la información de los comentarios, solo necesitamos el$P_x$(a pesar del título, y de la digresión/divagación inicial sobre los triples). Bien, esto es aún más simple.

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Tenemos la fórmula de recursión lineal para el par escrita como vector columna

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} m_{x+1}\\ n_{x+1} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2&1\\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{x}\\ n_{x} \end{bmatrix} \\ &= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\sqrt 2&1-\sqrt 2\\1&1 \end{bmatrix}}_C \underbrace{ \begin{bmatrix} 1+\sqrt 2&\\&1-\sqrt 2 \end{bmatrix}}_D \underbrace{ \frac 1{2\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 &\sqrt 2-1\\-1&\sqrt 2+1 \end{bmatrix}}_{C^{-1}} \begin{bmatrix} m_{x}\\ n_{x} \end{bmatrix} \ , \end{aligned}$$ con una matriz diagonal$D$arriba. los poderes de$\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}$no son inmediatos, sino los poderes de$D$son. Obtenemos directamente para su fórmula de pares la versión explícita con prueba: $$\begin{aligned} \begin{bmatrix} m_x\\n_x \end{bmatrix} &= (CDC^{-1})^x\begin{bmatrix}m_0\\n_0\end{bmatrix} = CD^xC^{-1}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \\[2mm] &= \frac 1{2\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1+\sqrt 2&1-\sqrt 2\\1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (1+\sqrt 2)^x&\\&(1-\sqrt 2)^x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &\sqrt 2-1\\-1&\sqrt 2+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \\[2mm] &= \frac 1{2\sqrt 2} \begin{bmatrix} (1+\sqrt 2)^{x+1} & (1-\sqrt 2)^{x+1}\\ (1+\sqrt 2)^{x } & (1-\sqrt 2)^{x } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &\sqrt 2-1\\-1&\sqrt 2+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \\[2mm] &= \frac 1{2\sqrt 2} \begin{bmatrix} (1+\sqrt 2)^{x+1} - (1-\sqrt 2)^{x+1} & ? \\ (1+\sqrt 2)^{x } - (1-\sqrt 2)^{x } & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \\[2mm] &= \frac 1{2\sqrt 2} \begin{bmatrix} (1+\sqrt 2)^{x+1} - (1-\sqrt 2)^{x+1} \\ (1+\sqrt 2)^{x } - (1-\sqrt 2)^{x } \end{bmatrix} \ , \end{aligned}$$ lo que da$\displaystyle n_x=\frac 1{2\sqrt 2}\Big(\ (1+\sqrt 2)^{x } - (1-\sqrt 2)^{x }\ \Big)$.

$\square$

En particular, para$x>0$podemos calcular$n_x$redondeando a un número entero el número$\displaystyle n_x=\frac 1{2\sqrt 2} (1+\sqrt 2)^x$. Por ejemplo, para$x=7$obtenemos$168.99926035179\dots$y después de redondear obtenemos$n_7=169$.

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Respuesta anterior para la forma explícita de la$(A,C)$recursión:

Puede intentar escribir explícitamente la fórmula de recurrencia como si pasara de un par$(A,C)$al siguiente par$(A',C')$en la forma:

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} A'\\C'\\1 \end{bmatrix} &= \underbrace{ \begin{bmatrix} 3&2&1\\4&3&2\\0&0&1 \end{bmatrix}}_{=:T} \begin{bmatrix} A\\C\\1 \end{bmatrix} \ , \\ &\qquad\text{ extracted from the mentioned passage} \\ A' &=3A+2C+1\ ,\\ C' &=4A+3C+2\ , \end{aligned}$$ introduciendo así una matriz$T$. Su polinomio característico es$(x - 1) (x^2 - 6x + 1)$, entonces tenemos la siguiente diagonalización sobre$\Bbb Q(a)$con$a=\sqrt 2$. Esperamos una matriz diagonal con entradas diagonales correspondientes a las raíces del polinomio característico anterior, son$1$y$3\pm 2\sqrt 2$. Escritura asistida por computadora :

sage: K.<a> = QuadraticField(2)
sage: a^2
2
sage: T = matrix( K, 3,3, [3,2,1, 4,3,2, 0,0,1] )
sage: T
[3 2 1]
[4 3 2]
[0 0 1]
sage: D, change = T.jordan_form(transformation=True)
sage: D
[ 2*a + 3|       0|       0]
[--------+--------+--------]
[       0|       1|       0]
[--------+--------+--------]
[       0|       0|-2*a + 3]
sage: change
[ 1  1  1]
[ a  0 -a]
[ 0 -2  0]
sage: change * D * change^-1 == T
True

Edición posterior: usemos y escribamos explícitamente la fórmula obtenida para$T$, y por lo tanto también para los poderes de$T$. Abajo,$S$es la matriz de cambio de base.

$$\begin{aligned} T &= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\ a&0&-a\\ 0&-2&0 \end{bmatrix}}_S \begin{bmatrix} 3+2a&&\\ &1&\\ &&3-2a \end{bmatrix} \underbrace{ \frac 14 \begin{bmatrix} 2 & a & 1\\ 0&0&-2\\ 2&-a&1 \end{bmatrix}}_{S^{-1}} \\ T^n &= \frac 14 \begin{bmatrix} 1&1&1\\ a&0&-a\\ 0&-2&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (3+2a)^n&&\\ &1&\\ &&(3-2a)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & a & 1\\ 0&0&-2\\ 2&-a&1 \end{bmatrix} \\[3mm] &\qquad\text{ Above }a=\sqrt 2\ . \\ &\qquad\text{ This gives an }\color{blue}{\text{explicit formula}:} \\[3mm] \color{blue}{ \begin{bmatrix} A_n\\ C_n\\ 1 \end{bmatrix}} &= T^n \begin{bmatrix} A_0\\ C_0\\ 1 \end{bmatrix} = T^n \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \color{blue}{ \frac 14 \begin{bmatrix} 1&1&1\\ a&0&-a\\ 0&-2&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (3+2a)^n&&\\ &1&\\ &&(3-2a)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & a & 1\\ 0&0&-2\\ 2&-a&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}}\ . \end{aligned}$$

$\square$

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Deje de leer aquí si los experimentos informáticos no son bienvenidos. (Publiqué esto ya que la forma del OP también tiene una recopilación de datos similar. A menudo es para mí un control, y en este caso también puede ser útil para algunos lectores).

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Ejemplo de un cálculo explícito:

Para calcular -digamos- el$15$.ésimo término (más o menos) ya tenemos$D^{15}$, entonces calcule con sage el producto:

$$\frac 14 \begin{bmatrix} 1&1&1\\ a&0&-a\\ 0&-2&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (3+2a)^{15}&&\\ &1&\\ &&(3-2a)^{15} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & a & 1\\ 0&0&-2\\ 2&-a&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix} \ ,$$ y obtenemos:

sage: Z = matrix(3, 1, [0,1,1])    # initial solution, A=0, C=1
sage: change * D^15 * change^-1 * Z
[183648021599]
[259717522849]
[           1]
sage: A15, C15 = 183648021599, 259717522849
sage: B15 = A15 + 1
sage: A15^2 + B15^2 == C15^2
True

Este es el tipo de cálculo directo necesario. (La matriz diagonal$D$tiene entradas diagonales$1$, y$3\pm 2\sqrt 2$, por lo que el único cálculo involucrado es el de las potencias de estas entradas diagonales).