Suma de recíprocos de números impares que suman 222

Si usted permite$\frac{1}{1}$, que parece, a juzgar por su pregunta:

Prueba a sumar los recíprocos de$1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 63, 105, 135$.

Se encuentra eligiendo un número abundante impar, a saber$945$y encontrar una suma de factores que se suma a$2\cdot 945$:

$945+315+189+135+105+63+45+35+27+15+9+7=2\cdot 945$.

Luego divide esta ecuación por$945$, reduciendo las fracciones individuales de la izquierda.

Podemos usar una variación del algoritmo voraz para encontrar tal secuencia de manera determinista.

Primero, sumamos los números impares recíprocos hasta que su suma exceda$2$:

$$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}<2$$

$$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}>2$$

Por lo tanto, comenzamos con:

$$S_{7}=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}$$

1) Después de restar la suma nos queda:

$$2-S_{7}=\frac{2021}{45045}$$

Para encontrar el siguiente término necesitamos encontrar un número entero$m_1$tal que:

$$\frac{1}{2m_1-1} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{2m_1-3}$$

resulta$m_1=12$, porque:

$$\frac{1}{23} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{21}$$

2) Después de restar, nos queda:

$$2-S_{7}-\frac{1}{23}=\frac{1438}{1036035}$$

Porque:

$$\frac{1}{721} < \frac{1438}{1036035} < \frac{1}{719}$$

Tenemos$m_2=361$.

3) Después de restar, nos queda:

$$2-S_{7}-\frac{1}{23}-\frac{1}{721}=\frac{109}{106711605}$$

Encontramos eso:

$$\frac{1}{979007} < \frac{109}{106711605} < \frac{1}{979005}$$

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Así que por ahora tenemos:

$$2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{721}+\frac{1}{979007}+\dots$$

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algunos comentarios Podemos continuar de la misma manera obteniendo denominadores cada vez más grandes. No estoy seguro de si la secuencia será finita o no.

Si se nos permitiera usar todos los números enteros, entonces la secuencia sería finita, porque$2$es un número racional. También sabríamos que los denominadores crecerían aproximadamente como$a_{n+1} > a_n^2-a_n$, lo que simplifica la búsqueda del siguiente.

En el caso de números enteros impares, las cosas se vuelven un poco más complicadas. Hasta el día de hoy se desconoce si todos los números racionales con denominadores impares producen una expansión codiciosa impar finita.

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Si se nos permitiera cambiar de signo, por suerte, podemos encontrar una secuencia relativamente corta:

$$2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{715}-\frac{1}{94185}$$