Propiedad de una cometa inscrita en un cuadrado

Question

Propiedad de una cometa inscrita en un cuadrado

geometría
triangulos
Matemáticas
Geometría euclidiana

Latón Uno

Un amigo mío me planteó el siguiente problema: Digamos que tienes un cuadrado $ABCD$ y una cometa $BCEF$ (una cometa es un objeto cuadrilátero tal que $\overline{BC}$ y $\overline{BF}$ tener el mismo tamaño, $\overline{CE}$ y $\overline{EF}$ tienen el mismo tamaño y $\overline{BE}$ y $\overline{CF}$ son perpendiculares), como en la imagen de abajo (además, lo siento por la imagen, no puedo entender cómo hacer esa imagen en el editor de látex del sitio).

Si prolongas los segmentos $\overline{BE}$ y $\overline{AD}$ , deberían encontrarse en algún punto $H$ . Asimismo, la prórroga de $\overline{BF}$ juntarse con $\overline{AD}$ en $G$ .

El problema: demostrar que $a + b = c$ .

No puedo enfatizar lo enojado que estoy con este problema. yo se que los triangulos $DEH$ , $BCE$ y $BEF$ son equivalentes, y he pasado algún tiempo caminando en círculos, nada realmente útil.

Si alguien pudiera señalar lo que no estoy viendo, estaría profundamente agradecido.

Juan María

Una buena animación de esta figura aquí.

Respuestas (3)

Propiedad de una cometa inscrita en un cuadrado

ACB · Answer 1

imagen

Los ángulos de color verde son iguales y déjalos ser $x$ . $\triangle BGH$ es isósceles. Por lo tanto $BG=GH=c$ .

Ahora gira $\triangle BCE$ sobre el punto $B$ , $90$ grados en el sentido de las agujas del reloj para hacer $\triangle BAE'$ .

Entonces $E'G=b+a$ .

$\angle E'BH=90^\circ$ , entonces $\angle E'BG=90^\circ-x$ .

considerando el triangulo $BCE$ , $\angle BEC=90^\circ-x$ y tambien $\angle BE'G$ .

Por eso, $\angle BE'G=\angle E'BG$ , entonces $\triangle BE'G$ es isósceles y $E'G=BG$ $\implies$

a + b = C

$a+b=c$

corazón de León · Answer 2

Dejar $GD=x$

$\triangle CBE \sim \triangle DHE$

\frac{a + X}{C - X} = \frac{b}{a + X - b}

$\frac{a+x}{c-x}=\frac{b}{a+x-b}$

(a + X)^{2} - b (a + X) = b (C - X)

$(a+x)^2-b(a+x)=b(c-x)$

C^{2} - a^{2} - b (a + X) = b (C - X)

$c^2-a^2-b(a+x)=b(c-x)$

C^{2} - a^{2} = b (C - a)

$c^2-a^2=b(c-a)$

Desde $a\neq c$

C = a + b

$c=a+b$

Desde $\triangle ABG$ es un triángulo rectángulo.

a^{2} + (a + X)^{2} = C^{2}

$a^2+(a+x)^2=c^2$

dan_fulea · Answer 3

Dejar $\alpha$ sea la medida común de los ángulos $\widehat{CBE}$ y $\widehat{EBF}$ . Dejar $t$ ser $t=\tan\alpha$ . Podemos y asumimos que los cuatro lados del cuadrado tienen cada uno la longitud de uno. Demostremos la igualdad: $\color{blue}{2a+b=a+c}$ . Tenemos:

\begin{aligned} b & = broncearse α = t, \\ a & = broncearse (90^{\circ} - 2 α) = cuna (2 α) = \frac{1 - t^{2}}{2 t}, \\ C + a & = broncearse (90^{\circ} - α) = cuna α = \frac{1}{t}, entonces \\ 2 a + b & = 2 \cdot \frac{1 - t^{2}}{2 t} + t = \frac{1}{t} = C + a . \end{aligned}

$\begin{aligned} b &= \tan \alpha = t\ ,\\ a &= \tan(90^\circ-2\alpha)=\cot (2\alpha)=\frac{1-t^2}{2t}\ ,\\ c+a &= \tan(90^\circ-\alpha)=\cot \alpha=\frac1t\ ,\qquad\text{so}\\ \color{blue}{2a +b}&= 2\cdot\frac{1-t^2}{2t} +t =\frac 1t =\color{blue}{c+a} \ . \end{aligned}$

Propiedad de una cometa inscrita en un cuadrado

Latón Uno

Juan María

Respuestas (3)

ACB

amante de las matemáticas

ACB

corazón de León

dan_fulea

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

Si p,q,rp,q,rp,q,r son las longitudes de las perpendiculares desde los vértices del triángulo ABCABCABC en cualquier recta, probar a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4Δ2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

¿Hay alguna figura trilateral en geometría euclidiana que no sea un triángulo?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Usando Menelao para mostrar: Las bisectrices perpendiculares de las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran con los lados opuestos en puntos colineales

Línea a través del punto medio del vértice-centroide del triángulo

Área de un triángulo equilátero con los radios de la circunferencia inscrita

Puntos en la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Teorema de pitágoras