Una pregunta sobre U(1)B−LU(1)B−LU(1)_{BL}

No puedo encontrar ninguna referencia a$U(1)_{B-L}$en el libro mencionado. El$L$aquí se refiere al número de leptones, y es sospechoso que esto surja en un libro sobre QCD.

Aparte de esto, ¿qué simetrías tiene el QCD Lagrangiano? En el caso de que tengamos$N$sabores de quarks sin masa, somos libres de rotar los quarks levógiros entre sí (en el espacio de sabor) y los quarks levógiros entre sí de forma independiente . Esto conduce a la simetría global:

$$U(N) \times U(N)$$

A nivel del álgebra, esta simetría también se puede escribir

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_L \times U(1)_R$$

donde los subíndices indican si la simetría actúa sobre los quarks levógiros o diestros. En lugar de girar de forma independiente hacia la izquierda o hacia la derecha, a veces puede ser útil considerar cambiar de fase a la izquierda y a la derecha en la misma cantidad , o cambiarlas en cantidades opuestas . Estas se conocen como simetrías vectoriales y axiales, respectivamente. Se puede demostrar que cualquier cambio de fase de justo a la izquierda, o justo a la derecha, se puede lograr mediante una combinación de cambios de fase axiales y vectoriales. Entonces

$$U(1)_L \times U(1)_R = U(1)_V \times U(1)_A$$

Ahora para el remate. En la teoría cuántica, la simetría axial$U(1)_A$es anómalo . Esto significa que mecánicamente no es una simetría cuántica, a pesar de ser una simetría clásica. Entonces, el grupo de simetría de QCD sin masa como teoría cuántica es:

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_V$$

Se puede comprobar que un cambio de fase simultáneo de todos los sabores y quiralidades de los quarks en la misma cantidad es precisamente la simetría correspondiente al número bariónico. Entonces también podemos escribir$U(1)_V = U(1)_B$. Este es casi el final de la historia, pero aún no hemos explicado por qué.$U(1)_{B-L}$debería aparecer. Resulta que cuando incrustamos QCD en el modelo estándar y acoplamos los quarks a los bosones de calibre débiles e hipercargados, así como al gluón,$U(1)_B$también es anómalo . Lo mismo es cierto de$U(1)_L$, la simetría que corresponde a cambiar la fase de todos los leptones simultáneamente en la misma cantidad. El único$U(1)$simetría global que sobrevive en la teoría cuántica del modelo estándar es$B - L$, la simetría correspondiente a rotar todos los quarks en la misma cantidad y todos los leptones en la cantidad opuesta.

Busqué en todo el libro y no encontré una sola instancia de "$U(1)_{B-L}$", por lo que una referencia de número de página sería útil. Pero para los propósitos de QCD puro,$U(1)_V$es lo mismo que$U(1)_B$, porque todos los quarks tienen el mismo número bariónico, y eso es lo mismo que$U(1)_{B-L}$ya que nada lleva número lepton.

Uno podría preferir escribir$U(1)_{B-L}$en vez de$U(1)_V$si uno tiene en mente el resto del Modelo Estándar. Si incluye los otros campos de indicador del modelo estándar, resulta que$U(1)_V$es anómalo y$U(1)_L$es anómalo también; la única combinación no anómala es$U(1)_{B-L}$. Esto es bueno porque nos da una cantidad absolutamente conservada, así como una simetría que puede medirse.

Eso todavía no lo explica por completo, porque si solo iban a escribir simetrías que no eran anómalas en el SM, no deberían haber escrito$SU(3)_L \times SU(3)_R$tampoco, ya que esta simetría también es anómala. Sospecho que solo estaban escribiendo por costumbre sin mirar demasiado de cerca lo que estaban haciendo.