Una pregunta sobre las ternas pitagóricas

Recientemente, me dieron un problema que consistía en encontrar dos conjuntos de puntos en el gráfico$y = x^2$que tienen una distancia racional entre sí. Luego me dijeron que, si no podía encontrar ninguno, intentara demostrar que no existía ninguno y, si podía, que encontrara una solución general.

Para tratar de resolver el problema, comencé con la fórmula de la distancia y la establecí igual a$p\over q$, ya que las soluciones tienen que ser racionales:

$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = {p\over q}$

Observé que cualquier punto en el gráfico tendría la forma$(x,x^2),$así que modifiqué la fórmula de la distancia y también elevé ambos lados al cuadrado.

$(x^2 - x)^2 + (y^2 - y)^2 = ({p\over q})^2$

Luego reorganicé los términos en el lado izquierdo

$(x^2 - x)^2 = (x(x - 1))^2$

$(x(x-1))^2 + (y(y -1))^2 = ({p\over q})^2$

Dado que esto se parece al teorema de Pitágoras, me concentré en tratar de encontrar soluciones de números naturales, que serían ternas de Pitágoras que satisfagan esta ecuación. Supuse que todos los números en el triple tienen que ser pares, y los del lado izquierdo tienen que poder factorizarse en la forma$x \times (x-1)$. Miré las listas de triples, pero no puedo encontrar ninguna que satisfaga esas dos propiedades. Además, si hago una lista de números que se pueden factorizar en esa forma,$12, 20, 30, 42$, etc. No puedo encontrar ninguno de esos números en un triple.

Estoy atrapado aquí. No tengo forma de probar si existe o no existe alguna solución de este tipo. ¿Cómo haría eso, y si existe uno, cómo lo encontraría?