Precesión del giroscopio y ecuaciones de Euler

Llevo tanto tiempo intentando solucionar este problema, pero la solución que he encontrado no es la que esperaba. Básicamente, tengo que resolver las ecuaciones de Euler para un giroscopio con un peso a una distancia d. Dado que el momento de inercia para los ejes 1 y 2 es el mismo ($I_{1} = I_{2} = I$):

$$\dot{\omega}_{1}I - (I-I_{3}) \omega_{2}\omega_{3} = 0$$ $$\dot{\omega}_{2}I + (I-I_{3}) \omega_{3}\omega_{1} = mgd$$ $$\dot{\omega}_{3}I = 0$$ es trivial que$\omega_3$es constante, entonces tenemos que: $$(\dot{\omega_2} + i\dot{\omega_1}) - \Omega i (\omega_2 + i \omega_1) = \alpha$$ $$\dot{u} - \Omega i u = \alpha$$ dónde$\Omega = \frac{I-I_3}{I}\omega_3$y$\alpha = mgd/I$. Si$\vec{\omega}_0 = (0,0, \omega_3)$es la velocidad angular inicial, la solución para esta ecuación es: $$\omega_2 = \frac{\alpha}{\Omega} \sin(\Omega t)$$ $$\omega_1 = \frac{\alpha}{\Omega} (1-\cos (\Omega t))$$

Ahora viene lo que no entiendo del todo: entiendo que estas velocidades son relativas a los ejes fijos del cuerpo y, para entenderlas, tengo que encontrar las velocidades angulares eulerianas (es decir, las velocidades relativas a los ángulos eulerianos). Cuando lo hago, encuentro que tengo que expresar las ecuaciones así:

$$\omega_1 = \dot{\phi} \sin{\theta} \sin{\psi} + \dot{\theta} \cos{\psi}$$

$$\omega_2 = \dot{\phi} \sin{\theta} \cos{\psi} - \dot{\theta} \sin{\psi}$$

$$\omega_3 = \dot{\phi}\cos{\theta} + \dot{\psi}$$

si supongo que$\theta = \pi /2$y$\dot{\theta} = 0$(por lo que he visto no hay nutación) entiendo que$\omega_3 = \dot{\psi}$, el resultado que esperaba, pero cuando aplico las mismas condiciones a las otras dos ecuaciones obtengo:

$$\dot{\phi} = \sqrt{\omega_1^2+ \omega_2} = \frac{\alpha \sqrt{2}}{\Omega} \sqrt{1-\cos (\Omega t)}$$ Estoy bastante seguro de que esa respuesta es incorrecta: por lo que he visto, la velocidad de precesión giroscópica es constante y nunca se detiene. Me preguntaba si podrías ayudarme a encontrar dónde me equivoco y explicármelo. ¡Muchas gracias!