Una partícula de masa mmm se mueve con velocidad constante vvv a lo largo de la curva y2=4a(a−x)y2=4a(a−x)y^{2}=4a(ax) [cerrada]

Question

Una partícula de masa mmm se mueve con velocidad constante vvv a lo largo de la curva y2=4a(a−x)y2=4a(a−x)y^{2}=4a(ax) [cerrada]

Santi Carmesi

Tengo complicaciones para hacer el siguiente problema:

Una partícula de masa $m$ se mueve con velocidad constante $v$ a lo largo de la curva $y^{2}=4a(a-x)$ . Encuentre sus vectores de velocidad y aceleración.

Mi primera idea era parametrizar la curva dada, sin embargo no sabía como introducir la velocidad $v$ . Por lo tanto derivé con respecto al tiempo, la ecuación de la curva, obteniendo:

2 y \frac{\partial y}{\partial t} = - 4 a \frac{\partial X}{\partial t}

$2y\frac{\partial y}{\partial t}=-4a\frac{\partial x}{\partial t}$

Además, sé que

{(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + {(\frac{\partial X}{\partial t})}^{2} = v^{2}

$\left( \frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 +\left( \frac{\partial x}{\partial t}\right)^2=v^2$

Por lo tanto, tenga dos ecuaciones que relacionen el $x$ y $y$ componentes de la velocidad, pero no he podido resolver. ¿Está bien mi método? ¿Hay otra manera? ¿Es más fácil hacerlo usando las ecuaciones paramétricas, pero luego, cuando ingreso la velocidad $v$ ?

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Una partícula de masa mmm se mueve con velocidad constante vvv a lo largo de la curva y2=4a(a−x)y2=4a(a−x)y^{2}=4a(ax) [cerrada]

usuario31782 · Answer 1

Dejar $v_x=dx/dt$ y $v_y=dy/dt$ .
Tenemos: $2yv_y=-4av_x$
reescritura $v_y=-\dfrac{2av_x}{y} \tag{1}$
También tenemos: $v_x^2+v_y^2=v^2 \tag{2}$
valor sustituto de $v_y$ en la ecuación 2.
$v_x^2+{(-\dfrac{2av_x}{y})}^2=v^2$
Resolver da $v_x=\pm \dfrac{vy}{4a^2+1},$
Sustituye este valor de $v_x$ en la ecuación 2 da: $v_y=\mp\dfrac{2av}{\sqrt{4a^2+1}}$
Sabemos $v_x$ y $v_y$ . la velocidad es como sabemos $\vec v=v_x {\hat i}+v_y\hat j$ y se puede encontrar ahora. debe quedar claro que $\vec v$ depende de la $y$ coordinar.

jerry schirmer · Answer 2

Estás en el camino correcto. Un par de notas:

Esas son en realidad derivadas totales. Tu puedes pensar en $x(t)$ y $y(t)$ como funciones de $t$ solo
tienes dos ecuaciones para dos funciones. Probablemente quieras aislarlos en dos ecuaciones, cada una para una función
Piensa en cómo resolverías esto por eliminación.

Estoy totalmente de acuerdo, sin embargo, el problema al tratar de resolver es que no puedo eliminar el término $y$ que aparece en la primera ecuación derivada.
@ user41316: no podrás. Lo mejor que harás es una ODE que te dé $\dot y\,f(y) = {\rm const.}$ , que luego tendrás que integrar en ambos lados con respecto al tiempo. A $u$ sustitución de $u = y(t)$ hará el resto.

Juan Alexiou · Answer 3

Siempre que una partícula está restringida a moverse a lo largo de una trayectoria, sus vectores de velocidad y aceleración se descomponen a lo largo del vector tangente $\vec{e}$ y el vector normal $\vec{n}$ como

\begin{aligned} \vec{v} & = v \vec{mi} \\ \vec{a} & = \dot{v} \vec{mi} + \frac{v^{2}}{ρ} \vec{norte} \end{aligned}

$\boxed{ \begin{aligned} \vec{v} & = v \, \vec{e} \\ \vec{a} & = \dot{v} \, \vec{e} + \frac{v^2}{\rho}\, \vec{n} \end{aligned} }$

dónde $v$ es la velocidad y $\rho$ es el radio instantáneo de curvatura. Además, para un camino descrito por el vector de posición $\vec{r}(t) = ( x(t), y(t) )$ las propiedades de la ruta son

\begin{aligned} \vec{mi} (t) & = (\frac{X^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}, \frac{y^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}) \\ \vec{norte} (t) & = (- \frac{y^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}, \frac{X^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}) \\ \frac{1}{ρ (t)} & = \frac{y^{'} X^{″} - y^{″} X^{'}}{{(X^{' 2} + y^{' 2})}^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \vec{e}(t) & = \left( \frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}, \frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\right) \\ \vec{n}(t) & = \left( -\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}, \frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\right) \\ \frac{1}{\rho(t)} &= \frac{ y' x'' - y'' x'}{\left( x'^2+y'^2 \right)^\frac{3}{2}} \end{aligned}$

dónde $x'=\frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d} t}, x''=\frac{{\rm d}^2 x(t)}{{\rm d} t^2}$ y $y'=\frac{{\rm d}y(t)}{{\rm d} t}, y''=\frac{{\rm d}^2 y(t)}{{\rm d} t^2}$

Entonces, para resolver su problema, propongo parametrizar la ruta. $y^2(x)=4 a (a-x)$ como

\vec{r} (t) = (a t, 2 a \sqrt{1 - t})

$\vec{r}(t) = \left( a t, 2 a \sqrt{1-t} \right)$

^PISTA: $\frac{1}{\rho(t)} = \frac{1}{2 a \left(2 -t\right)^\frac{3}{2}}$ , $\dot{v}=0$

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