¿Una función de onda 2D (espacio real) siempre tiene que ser un producto de dos funciones de onda 1D (es decir, siempre separables)?

En el formalismo de primera cuantización para muchas mecánicas cuánticas de partículas, sea | X ⟩ y | y ⟩ ser dos bases para dos particulas A y B : ψ A ( X ) = ⟨ X | ψ A ⟩ y ψ B ( y ) = ⟨ y | ψ B ⟩ .

Según entiendo, | r → ⟩ = | X ⟩ ⊗ | y ⟩ , dónde r → es el vector de posición 2D habitual. El estado de muchas partículas es | Ψ ⟩ = | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ y la función de onda entonces:

Ψ ( r → ) = ⟨ r → | Ψ ⟩ = ( ⟨ X | ⊗ ⟨ y | ) ( | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ ) = ψ A ( X ) ψ B ( y )
Por lo tanto, implica que dicha función de onda de dos partículas en 2D siempre tendrá la forma del producto. ¿Es eso cierto en general o se deriva del hecho de que, para empezar, las partículas estaban restringidas a lo largo de una dimensión?

Si es así, si tenemos una sola partícula moviéndose en dos dimensiones, en lenguaje de álgebra lineal, ¿qué tipo de objeto ( ⟨ X | ⊗ ⟨ y | ) | ψ ⟩ es (en otras palabras, si consideramos el vector de posición 2D como un producto tensorial de dos espacios de Hilbert X y y , que espacia la función de onda de una sola partícula | ψ ⟩ pertenece a)?

No entiendo si está considerando la función de onda para dos partículas en una dimensión (para un espacio de configuración 2D), para una partícula en dos dimensiones (un espacio de configuración 2D diferente) o para dos partículas en dos dimensiones (un espacio 4D espacio de configuración).

Respuestas (1)

No, esto no es generalmente cierto. La razón es que está asumiendo que un estado general de dos partículas está dado por | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ , y este no es el caso. Un estado general de dos partículas es una combinación lineal de estados de productos, es decir

| Ψ ⟩ = ∑ norte C norte | ψ A norte ⟩ ⊗ | ψ B norte ⟩
En la base de la posición, escribiríamos

| Ψ ⟩ = ∫ d X 1 ∫ d X 2   ψ ( X 1 , X 2 ) | X 1 ⟩ ⊗ | X 2 ⟩

dónde ψ ( X 1 , X 2 ) es un elemento de L 2 ( R ) ⊗ L 2 ( R ) ≃ L 2 ( R 2 ) y no tiene obligación de factorizar. Si es un factor, entonces ψ ( X 1 , X 2 ) = ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) , entonces podemos escribir

| ψ ⟩ = ( ∫ d X 1 ψ A ( X 1 ) | X 1 ⟩ ) ⊗ ( ∫ d X 2 ψ B ( X 2 ) | X 2 ⟩ ) = | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩

pero no hay razón para esperar que esto sea cierto a priori . De hecho, si las dos partículas son fermiones indistinguibles entonces ψ ( X 1 , X 2 ) = − ψ ( X 2 , X 1 ) , lo que es suficiente para demostrar que no pueden estar en estado de producto.

Te puede interesar esta respuesta que escribí sobre la diferencia entre el producto directo H A × H B y el producto tensorial H A ⊗ H B . La diferencia clave es el punto central de esta respuesta, a saber, que los elementos del primero son todos estados de producto, mientras que los elementos del segundo son combinaciones lineales de estados de producto. El modelado de sistemas compuestos utilizando esta última construcción abre la posibilidad de tener estados de no producto, que generalmente se denominan enredados en un contexto físico.

Comprendido. Gracias.
¿Alguna idea sobre la segunda parte? Es decir, cómo interpretar | ψ ⟩ en la segunda ecuación si representa una sola partícula que se mueve en 2 dimensiones ( X 1 y X 2 en la ecuación)? ¿A qué espacio de Hilbert pertenece?
@UChat Tenía la impresión de que estabas preguntando sobre dos partículas, cada una de las cuales se mueve en 1D. ¿Quiso decir que cada partícula se mueve en 2D?
No, esa fue la primera parte. Como una pregunta separada pero relacionada, si consideramos una sola partícula que se mueve en 2D; ψ ( X , y ) = ⟨ X , y | ψ ⟩ = ( ⟨ X | ⊗ ⟨ y | ) | ψ ⟩ . ¿El vector de estado de "partícula única" | ψ ⟩ para este caso pertenecen al espacio del producto tensorial generado por | X ⟩ ⊗ | y ⟩ ?
@UChat La función de onda de una sola partícula ψ ( X , y ) pertenece a L 2 ( R 2 ) , Sí. El espacio de Hilbert que subyace a una sola partícula que se mueve en dos dimensiones es isomorfo al espacio de Hilbert que subyace a dos partículas distinguibles que se mueven en una dimensión. Sin embargo, si las partículas son indistinguibles, esto ya no es cierto.
¿Una función de onda 2D (espacio real) siempre tiene que ser un producto de dos funciones de onda 1D (es decir, siempre separables)?
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