Una duda en la derivación para determinar la diferencia de potencial eléctrico entre capas esféricas concéntricas

Esta es una confusión que tuve cuando hice estos problemas. Estamos integrando desde la capa exterior del radio.$R_2$a la capa interna del radio$R_1 < R_2$. Estás en lo cierto en ese camino de integración, el$d \vec{r}$apunta "hacia adentro", mientras que$\vec{E}$apunta "hacia afuera", por lo que su producto escalar es negativo. Pero, este signo negativo ya se está teniendo en cuenta cuando escribimos

$$\begin{align} \int_{R_2}^{R_1} \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \, dr \tag{$*$} \end{align}$$ Observe que el integrando$\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0r^2}$es positivo (ya que$Q>0$), PERO, estamos integrando desde$R_2$a$R_1$(desde el límite superior al límite inferior).

En otras palabras, en$(*)$, estamos integrando una función positiva, pero "en sentido contrario", por lo tanto, la integral en$(*)$es en realidad negativo, que es exactamente lo que esperábamos:$\int \vec{E} \cdot d \vec{r}< 0$para el camino elegido, basado en el argumento físico de que los vectores apuntan en direcciones opuestas.

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Entonces, lo que está pasando es que el hecho de que$d \vec{r}$puntos "hacia adentro" ya se tiene en cuenta por los límites de integración. (por ejemplo, comparar$\int_1^2 x^2 \, dx$contra$\int_2^1 x^2 \, dx$)

Si bien esta es una buena pregunta para pensar, tengo la siguiente sugerencia para el futuro: si, por ejemplo, trabaja en coordenadas esféricas, siempre escriba

$$\begin{align} \vec{E} = E_r \hat{r} + E_{\theta} \hat{\theta} + E_{\phi} \hat{\phi} \quad \text{and} \quad d\vec{r} = dr\, \hat{r} + r \, d \theta\, \hat{\theta} + r \sin \theta \, d \phi\, \hat{\phi} \end{align}$$ de modo que el producto punto es $$\begin{align} \vec{E} \cdot d \vec{r} = E_r\, dr + E_{\theta} r \, d \theta + E_{\phi} r \sin \theta \, d \phi \end{align}$$ y establezca cuidadosamente los límites de integración, y deje que los límites de integración se ocupen del signo de todo , porque es muy peligroso usar estos argumentos físicos para obtener los signos correctos en la integración, porque sin saberlo podríamos introducir signos menos adicionales.

Pero, por supuesto, al final de un cálculo, siempre verifique con la intuición física básica.

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Si esto todavía no es convincente, considere el siguiente ejemplo muy simple de integración de línea: sea$\vec{F}(x,y,z) = \hat{x}$, sea un campo vectorial unitario constante apuntando en positivo$x$dirección. Considere la trayectoria en línea recta$C$que comienza en el punto$(2,0,0)$y termina en$(1,0,0)$, y ahora te pido que calcules$\int_C \vec{F} \cdot d \vec{r}$.

Aquí, la curva apunta hacia la izquierda, es decir, en el$-\hat{x}$dirección, mientras$\vec{F}$puntos en$\hat{x}$dirección. Entonces, por supuesto, esperamos que la integral sea negativa. Pero, si ponemos ingenuamente$\vec{F} \cdot d \vec{r} = \hat{x} \cdot (-dx \, \hat{x}) = -dx$, y si además pones los límites de integración como$\int_2^1$, "porque$C$empieza a$x=2$y termina en$x=1$", entonces calculará incorrectamente

$$\begin{align} \int_C \vec{F} \cdot d \vec{r} &= \int_{2}^1 (-dx) = \int_1^2 \, dx = 2-1 = 1 > 0 \end{align}$$ Entonces, encontramos que la integral es positiva cuando debería ser negativa. Entonces, claramente, hemos agregado un signo menos adicional.

Lo que hay que tener en cuenta es que si escribes$d\vec{r} = - dx \, \hat{x}$, entonces necesita invertir los límites de integración como$\int_1^2$, a pesar de$C$comienza desde$x=2$a$x=1$. Para mí esto es muy confuso, así que prefiero escribir

$$\begin{align} \int_C \vec{F} \cdot d \vec{r} &= \int_{x=2}^{x=1} \hat{x} \cdot (dx \, \hat{x} + dy \, \hat{y} + dz \, \hat{z}) \\ &= \int_{x=2}^{x=1} dx \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \end{align}$$ De esta manera, es menos probable que cometamos errores de signo.

Finalmente, aquí hay otra forma de presentar el cálculo, que es literalmente la definición de intergals de línea (los cálculos anteriores son simplemente formas de escribir cosas cuando uno no desea dar explícitamente una nueva letra como$\gamma$para la parametrización, y una nueva letra$t$para el parámetro). Primero tenemos que parametrizar la curva bajo consideración. En este ejemplo, tomemos la curva$\gamma:[0,1]\to\Bbb{R}^3$definido como$\gamma(t)=(2-t,0,0)$. Tenga en cuenta que$\gamma(0)=(2,0,0)$y$\gamma(1)=(1,0,0)$, y$\gamma$es una línea recta, en otras palabras,$\gamma$es realmente una parametrización del segmento de línea recta,$C$, empezando desde$x=2$y terminando en$x=1$. Ahora , por definición de integrales de línea, tenemos

$$\begin{align} \int_{C}\vec{F}\cdot\,d\vec{r}&=\int_0^1\langle\vec{F}(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle\,dt\\ &=\int_0^1\langle \hat{x}, -\hat{x}\rangle\,dt\\ &=-1. \end{align}$$ Entonces, verá, el hecho de que la "velocidad" de la curva sea$\gamma'(t)=-\hat{x}$ya tiene en cuenta el hecho de que la curva va de$x=2$a$x=1$.