¿Por qué el potencial eléctrico es positivo?

si hay carga positiva q en el origen de un sistema de coordenadas, el potencial eléctrico ϕ A una distancia r de q es (por definición, si tomamos el punto de potencial cero en el infinito):

ϕ = − ∫ ∞ r mi → ⋅ d r →

El producto escalar de mi → y d r → es − mi   d r porque apuntan en direcciones opuestas, entonces

ϕ = ∫ ∞ r mi   d r
Para una carga puntual positiva q , tenemos que:
ϕ = q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r d r r 2
Y evaluando la integral llegamos a:
ϕ = − q 4 π ϵ 0 r

Sin embargo, el resultado debería ser positivo según Halliday-Resnick (quinta edición, página 608). Tienen esencialmente la misma derivación, excepto que después de evaluar la integral por alguna razón obtienen un potencial positivo. ¿Qué pasa?

Respuestas (1)

el integrando mi → ⋅ d r → es mi d r , no − mi d r .

La evaluación del producto escalar se realiza automáticamente cuando especifica la curva en la que está integrando (es decir, sus límites de integración en este caso). Has tenido en cuenta dos veces las direcciones relativas de mi → y d r → .

Sospecho que la confusión subyacente es que está tratando d r → como un pequeño desplazamiento en vuestro camino de integración. Esto no es correcto. Como puede ver en esta página de WP sobre coordenadas esféricas, d r → tiene una definición que no depende de su ruta o dirección de integración: d r → = d r r ^ + r d θ θ ^ + r pecado ⁡ θ d ϕ ϕ ^ . Observe el vector unitario r ^ , que siempre siempre apunta hacia afuera, lejos de tu origen.

Esta es la manera demasiado detallada de evaluar su integrando:

mi → ( r ) ⋅ d r → = k q / r 2 r ^ ⋅ ( d r → = d r r ^ + r d θ θ ^ + r pecado ⁡ θ d ϕ ϕ ^ ) = k q / r 2 d r = mi ( r ) d r

La gente también tiene esta confusión sobre la energía potencial gravitatoria. Es un error común.
Muchas gracias, estúpido de mí. Es un poco molesto que Halliday-Resnick haya hecho esto incorrectamente y luego, literalmente, simplemente haya cambiado el signo después de la integración, pero ¿qué vas a hacer?
Hola Llama, estoy enfrentando el mismo problema. He pasado por la solución mencionada por BMS, pero aún no la entiendo. El potencial en un punto es siempre el trabajo realizado por unidad de carga por una fuerza externa al llevar esa carga desde el infinito a ese punto en particular contra la fuerza electrostática de repulsión. Dado que la fuerza externa que realiza el trabajo en este caso es a lo largo del desplazamiento, lo que hace que el trabajo realizado por la fuerza externa sea positivo, el potencial se vuelve negativo después de integrar este trabajo desde el infinito hasta el punto 'r'. ¿Me equivoco?
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