Una cuerda une la Luna a la Tierra. ¿Lo que sucede?

Question

Una cuerda une la Luna a la Tierra. ¿Lo que sucede?

maullar

Considere la Tierra (masa $M$ , radio $R$ , girando sobre su propio eje en $\Omega$ ) y la luna (masa $m$ , radio $r$ , con rotación axial igual a $\omega_m$ ), cuyos centros de masas son $d$ aparte. Giran alrededor de su baricentro en $\omega_e$ y $\omega_m$ radianes/segundo respectivamente (creo $\omega_m=\omega_e$ para conservar el impulso).

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Ahora atamos un punto en la superficie de la Tierra a un punto en la superficie de la Luna usando una cuerda liviana, inextensible (y muy fuerte). Suponga que la Tierra y la Luna son rígidas e indestructibles .

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¿Lo que sucede?

Sería bueno encontrar una solución del tipo general, pero para un primer análisis puede ser más fácil asumir que $M \gg m$ , de modo que la rotación de la Tierra alrededor del baricentro es despreciable y el baricentro $\approx$ el centro de masa de la Tierra. Otra suposición (quizás razonable) es que toda la rotación tiene lugar en un plano y que la órbita de la luna es circular, y que ambos cuerpos tienen una densidad uniforme.

Estos son algunos de mis pensamientos basados únicamente en la intuición, siéntase libre de ignorarlos al responder la pregunta:

La luna es inmediatamente atraída (como $\Omega_e>\omega_m$ ) y se pega a la tierra como un percebe. Creo que esto puede ocurrir si $\Omega_e \gg \omega_m$ y $M\gg m$ .
Si $\omega_m$ es lo suficientemente grande, la luna como antes será inicialmente atraída hacia adentro, luego será lanzada hacia afuera nuevamente como $\omega_m(t)$ aumenta
Si $m\approx M$ , la Tierra y la Luna formarán un sistema tipo mancuerna (es decir, la cuerda no habría tenido mucho efecto, ya que ese es el caso de todos modos en los sistemas 'binarios' donde $M=m$ ).

maullar

¿Le importaría al votante cercano explicar cómo podría mejorar esta pregunta? Debo elogiar la rapidez con la que ha leído la pregunta.

Jim

A menos que esté hecho de Adamantium, elige la opción 4; la cuerda se rompe. :-PAGS

dmckee --- gatito ex-moderador

Por cierto: "la luna (masa m, radio r, sin rotación axial)" La parte "sin rotación axial" es incorrecta. Gira tan rápido como orbita para que siempre veamos la misma cara.

N. Virgo

Incluso si la cuerda está hecha de Adamantium y no se rompe, seguramente se arrancará del suelo, incluso si está anclada a kilómetros de profundidad en el manto.

maullar

@dmckee Tienes razón. Realmente quise decir 'ignorar cualquier efecto de la rotación axial de la luna' (es decir, asumir que la cuerda está unida al centro de la luna y puede moverse a través de la luna sin resistencia).

ana v

La tierra gira alrededor de su eje (la luna no está continuamente en el mismo lugar del cielo). La cuerda se enrollaría alrededor de la tierra y atraería a la luna, ya que su rotación es más lenta y su masa más pequeña. Tal cadena no puede existir en la realidad.

ana v

Supongo que la afirmación correcta es "la tierra gira alrededor de su eje".

mikhailcazi

^ Cierto. Sacará a la luna de su órbita (si es lo suficientemente fuerte para hacerlo) y enrollará la cuerda alrededor de la tierra.

Selene Routley

Querida Alyosha: ¿Es cierto que uno debería olvidarse de las cuerdas y resolver el siguiente problema?: supongamos que dos objetos celestes se orbitan entre sí con su atracción gravitatoria mutua siendo la única fuerza sobre ellos y su movimiento ha alcanzado un estado estable por

t = 0

$t = 0$ . A

t = 0

$t=0$ , uno los une de tal manera que la distancia entre sus centros de masa no puede cambiar a partir de entonces. Luego describa cuantitativamente su movimiento para

t > 0

$t>0$ .

Respuestas (3)

Una cuerda une la Luna a la Tierra. ¿Lo que sucede?

¿Le importaría al votante cercano explicar cómo podría mejorar esta pregunta? Debo elogiar la rapidez con la que ha leído la pregunta.
A menos que esté hecho de Adamantium, elige la opción 4; la cuerda se rompe. :-PAGS
Por cierto: "la luna (masa m, radio r, sin rotación axial)" La parte "sin rotación axial" es incorrecta. Gira tan rápido como orbita para que siempre veamos la misma cara.
Incluso si la cuerda está hecha de Adamantium y no se rompe, seguramente se arrancará del suelo, incluso si está anclada a kilómetros de profundidad en el manto.
@dmckee Tienes razón. Realmente quise decir 'ignorar cualquier efecto de la rotación axial de la luna' (es decir, asumir que la cuerda está unida al centro de la luna y puede moverse a través de la luna sin resistencia).
La tierra gira alrededor de su eje (la luna no está continuamente en el mismo lugar del cielo). La cuerda se enrollaría alrededor de la tierra y atraería a la luna, ya que su rotación es más lenta y su masa más pequeña. Tal cadena no puede existir en la realidad.
Supongo que la afirmación correcta es "la tierra gira alrededor de su eje".
^ Cierto. Sacará a la luna de su órbita (si es lo suficientemente fuerte para hacerlo) y enrollará la cuerda alrededor de la tierra.
Querida Alyosha: ¿Es cierto que uno debería olvidarse de las cuerdas y resolver el siguiente problema?: supongamos que dos objetos celestes se orbitan entre sí con su atracción gravitatoria mutua siendo la única fuerza sobre ellos y su movimiento ha alcanzado un estado estable por $t = 0$ . A $t=0$ , uno los une de tal manera que la distancia entre sus centros de masa no puede cambiar a partir de entonces. Luego describa cuantitativamente su movimiento para $t>0$ .

Ali · Answer 1

Tenga en cuenta que este es un problema difícil, que depende de muchos factores. Ergo, dar respuestas completas que pasen por todas las posibilidades es un poco difícil. Por ejemplo, el caso cambia dramáticamente dependiendo de dónde coloque el punto en la Tierra (es decir, el polo norte o el ecuador) o si la Luna está en su apogeo o perigeo o en algún otro lugar de su órbita. Escribiré algunos pensamientos crudos y daré algunos números aproximados. Creo que se necesitan simulaciones por computadora reales para obtener respuestas más detalladas.

Hechos cualitativos:

Cuando atemos la cuerda, si la Luna está en su apogeo la destrucción obviamente será mínima.
Dado que la Tierra y la Luna son (casi) esferas, debido a la inclinación de la órbita de la Luna y la inclinación de su eje; la cuerda se enrollará alrededor de la Tierra un número finito de veces. Trataré de estimarlo en la siguiente sección.
Incluso si inicialmente la cuerda se enrolla alrededor de la Tierra, debido al par constante aplicado a la Tierra, la rotación de la Tierra se ralentizará y la cuerda eventualmente se desenrollará.
Aunque la Tierra y la Luna no colisionarán, los cambios en las fuerzas de las mareas y la duración del día serán dramáticos.
Los cambios en el período de la Tierra alrededor del Sol (año) serán insignificantes.
La maniobra de la cuerda en la Tierra cambiará (como máximo la mitad) la cara de la Tierra considerablemente en breves plazos.
La tensión de la cuerda presumiblemente puede afectar los movimientos de las placas tectónicas ( deriva continental ) y causar terremotos severos.
Dependiendo de dónde coloquemos la cuerda, también cambiará el eje de rotación de la Tierra; es decir , el ecuador y la Estrella Polar cambiarán.

Estimaciones cuantitativas:

Estas son estimaciones que presumiblemente pueden hacerse en el reverso de una servilleta de cóctel .

¿Cuántas veces se enrollará la cuerda alrededor de la Tierra? O de manera equivalente, ¿cuál será la longitud de la cuerda enredada alrededor de la Tierra?

La inclinación media de la órbita lunar al plano de la eclíptica es $\theta = 5.145°$ . Por lo tanto, la cuerda solo se enrollará un número finito de veces alrededor de la Tierra. Suponiendo que el puntito esté en el ecuador, encontraré un límite superior y un límite inferior, luego tomaré su media geométrica como una suposición razonable (una técnica válida en los problemas de Fermi ) para la cantidad de cuerda enrollada alrededor de la tierra. El límite superior viene de enrollar una cuerda alrededor de un cilindro de radio y altura $R_E$ .

d_{tu pags} = \frac{R_{mi}}{pecado θ} \approx 11 R_{mi} \approx 7.1 \times 10^{7} metro

$d_{up}= \frac{R_E}{\sin{\theta}} \approx 11 R_E \approx 7.1 \times 10^{7} \text{m}$ El límite inferior es básicamente la mitad de la longitud del ecuador:

d_{d o w norte} = π R_{mi} \approx 2.0 \times 10^{7} metro

$d_{down}=\pi R_E \approx 2.0 \times 10^7 \text{m}$

d \approx \sqrt{d_{tu pags} d_{d o w norte}} = \sqrt{11 π} R_{mi} \approx 5.9 R_{mi} \approx 3.8 \times 10^{7} metro

$d \approx \sqrt{d_{up}d_{down}} = \sqrt{11 \pi}R_E \approx 5.9 R_E \approx 3.8 \times 10^7 \text{m}$

es decir, la Luna se acercará $10 \%$ cerca.

El nuevo día: ¡O cuál será la nueva definición de una hora!

Después de unir la Luna y la Tierra, y después de que todos los movimientos tambaleantes se asienten y el sistema alcance nuevamente su movimiento constante de rutina (la cuerda ya no está enrollada alrededor de la Tierra); la Luna volverá a estar en su distancia inicial de la Tierra; sin embargo, la Tierra y la Luna rotarán con la misma velocidad angular $\omega$ . Podemos estimar esto por la conservación de Momentum. La respuesta puede depender de si colocamos la cuerda en el apogeo o en el perigeo de la Luna, por lo que estimaré ambos casos.

El momento angular inicial alrededor del centro de masa del sistema será (ignorando la inclinación axial):

L = \frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} ω_{mi} + {METRO}_{mi} {r_{mi}}^{2} Ω + \frac{2}{5} {METRO}_{METRO} {R_{METRO}}^{2} ω_{METRO} + {METRO}_{METRO} {r_{METRO}}^{2} Ω

$L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_E {r_E}^2 \Omega + \frac{2}{5}M_M {R_M}^2 \omega_M + M_M {r_M}^2 \Omega$ dónde

M_{E}

$M_E$ y

M_{M}

$M_M$ ,

R_{E}

$R_E$ y

R_{M}

$R_M$ ,

r_{E}

$r_E$ y

r_{M}

$r_M$ ,

ω_{E}

$\omega_E$ y

ω_{M}

$\omega_M$ son la masa, el radio, la distancia a COM y la frecuencia angular alrededor de sí mismos de la Tierra y la Luna, respectivamente. Pero sabemos:

ω_{METRO} = Ω {METRO}_{mi} r_{mi} = {METRO}_{METRO} r_{METRO}

$\omega_M = \Omega \\ M_E r_E = M_M r_M$

\Rightarrow L = \frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} ω_{mi} + {METRO}_{METRO} Ω (\frac{2}{5} R_{METRO}^{2} + r_{METRO} (r_{METRO} + r_{mi})) \approx \frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} ω_{mi} + {METRO}_{METRO} Ω (r_{METRO}^{2})

$\Rightarrow L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega \left( \frac{2}{5}R_M^2 + r_M(r_M + r_E)\right) \\ \approx \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega \left( r_M^2 \right)$

Escribiendo el momento angular después:

L = \frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} Ω^{'} + {METRO}_{mi} {r_{mi}}^{2} Ω^{'} + \frac{2}{5} {METRO}_{METRO} {R_{METRO}}^{2} Ω^{'} + {METRO}_{METRO} {r_{METRO}}^{2} Ω^{'} \approx (\frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} + {METRO}_{METRO} r_{METRO}^{2}) Ω^{'}

$L=\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \Omega' + M_E {r_E}^2 \Omega' + \frac{2}{5}M_M {R_M}^2 \Omega' + M_M {r_M}^2 \Omega' \\ \approx \left( \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 + M_M r_M^2\right) \Omega'$

T^{'} = \frac{2 π}{Ω^{'}} \approx \frac{2 π (\frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} + {METRO}_{METRO} r_{METRO}^{2})}{\frac{2}{5} {METRO}_{mi} {R_{mi}}^{2} ω_{mi} + {METRO}_{METRO} Ω r_{METRO}^{2}} = \frac{2 π}{ω_{mi}} \frac{\frac{2}{5} \frac{{METRO}_{mi}}{{METRO}_{METRO}} + {(\frac{r_{METRO}}{R_{mi}})}^{2}}{\frac{2}{5} \frac{{METRO}_{mi}}{{METRO}_{METRO}} + {(\frac{r_{METRO}}{R_{mi}})}^{2} \frac{Ω}{ω_{mi}}}

$T'=\frac{2 \pi}{\Omega'} \approx \frac{2\pi \left( \frac{2}{5}M_E {R_E}^2 + M_M r_M^2 \right)}{\frac{2}{5}M_E {R_E}^2 \omega_E + M_M \Omega r_M^2 } = \frac{2 \pi}{\omega_E} \frac{\frac{2}{5} \frac{M_E}{M_M}+\left(\frac{r_M}{R_E} \right)^2}{\frac{2}{5} \frac{M_E}{M_M}+\left(\frac{r_M}{R_E} \right)^2 \frac{\Omega}{\omega_E}}$

Tomando los valores de here y here y here , obtendremos:

T^{'} \approx 22.1 día

$T' \approx 22.1 \text{day}$ Que es realmente largo. Para el perigeo y el apogeo, los tiempos del día serán respectivamente:

T_{pags}^{'} = 21.6 día T_{a}^{'} = 22.5 día

$T'_{p}=21.6 \text{day} \\ T'_{a}=22.5 \text{day}$ Aunque la diferencia no es tan significativa.

A completar

Agregaré algunas estimaciones sobre la tensión de la cuerda y las fuerzas de marea; luego haré algunas conclusiones. Además, apuesto a que hay un millón de errores tipográficos y gramaticales, no dude en corregirlos.
FYI: la cuerda se envuelve alrededor de la Tierra. Rapear es donde haces una canción hablando muy rápido.

Ajaykrishnan Jayagopal · Answer 2

La cuerda se rompe. Aunque en un nivel elemental, parece que la órbita de la luna alrededor de su baricentro es circular, en realidad es elíptica. Entonces, la distancia entre los centros de la tierra y la luna no es constante, por lo que la cuerda se rompe bajo la tremenda tensión que se desarrolla en ella.

Creo que el OP entiende esto: lo que se busca es lo siguiente: la restricción cambia el movimiento y él / ella está tratando de entender un modelo cuantitativo sólido que describa este cambio. Volveré a responder a esto cuando tenga más tiempo o si alguien más no responde primero.
Esa es la razón por la que Ali en su respuesta dijo que atar la cuerda cuando la luna está en apogeo ..: P

PaMa · Answer 3

Nada cambiaría en absoluto... La Tierra y la Luna ya están unidas por la fuerza de la gravedad... La naturaleza de la gravedad es esférica alrededor de las masas esféricas con una distribución casi uniforme (la Tierra y la Luna), por lo que la única diferencia es el punto fijo en la Tierra. en el caso de la gravedad, es como un hilo unido al control deslizante con rebajes del control deslizante en una cierta latitud alrededor. Sin embargo, la parte que falta es que requiere que el hilo sea inextensible. Para ese caso, considere el movimiento de los sistemas estelares binarios donde la gravedad es lo suficientemente fuerte como para hacer que el hilo virtual sea inextensible.

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Ali

usuario253751

Ajaykrishnan Jayagopal

Selene Routley

Cheekú

PaMa

Calcule el momento angular total del objeto que gira alrededor de 2 ejes (por ejemplo, la Tierra)

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