Una cuenta que se desliza con fricción por un alambre flexible [cerrado]

Question

Una cuenta que se desliza con fricción por un alambre flexible [cerrado]

kevinkayaks

Planteamiento del problema:

Me gustaría modelar la siguiente configuración:

Aquí, una gota de masa $m$ se desliza por un alambre bajo tensión. El alambre tiene densidad $\rho$ . La cuenta experimenta fricción en proporción a su velocidad. $v$ a lo largo del alambre. Me gustaría describir la velocidad de la cuenta a través del tiempo.

Gran límite de tensión:

Si la tensión en el alambre es muy grande, la dinámica de la cuenta se desacoplará de la del alambre, y el movimiento de la cuenta sería como un bloque en un plano con fricción dependiente de la velocidad (por suposición, no fricción de Coulomb). ). En coordenadas a lo largo del cable,

metro \dot{v} = - γ v + metro gramo pecado θ,

$m \dot{v} = - \gamma v + mg \sin\theta,$ entonces la velocidad se aproxima

m g / γ \sin θ

$mg/\gamma\sin\theta$ :

v (t) = v_{0} {mi}^{- γ t / metro} + \frac{metro gramo pecado θ}{γ} (1 - {mi}^{- γ t / metro}) .

$v(t) = v_0 e^{-\gamma t/m} + \frac{m g \sin\theta}{\gamma}(1-e^{-\gamma t/m}).$

Tensión moderada:

Cuando la tensión no es mucho mayor que $mg$ , el alambre se deformará por la masa, por lo que ya no se deslizará en línea recta. Aquí es donde el problema se vuelve desafiante y tengo problemas para configurar las ecuaciones gobernantes. Creo que la ecuación del cable es algo así como

ρ \frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = T \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + ρ gramo + metro gramo d (X - X_{pag} (t))

$\rho \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\rho g + m g \delta(x-x_p(t))$

Sin embargo, las coordenadas de las partículas ahora son muy complicadas de describir. Creo que la forma más conveniente podría ser describirlos en las coordenadas definidas por la forma del cable, imitando el límite de tensión grande, pero no me queda claro cómo hacerlo exactamente.

Si alguien pudiera ofrecer alguna guía sobre si mi ecuación para la cuerda es correcta y cómo establecer las ecuaciones de movimiento para la partícula, ¡estaría muy agradecido!

Editar:

En ausencia de fricción, el Lagrangiano de la partícula es

L = \frac{metro}{2} ({\dot{X}}^{2} [1 + ψ_{X}^{2}] + 2 \dot{X} ψ_{X} ψ_{t} + ψ_{t}^{2}) - metro gramo ψ (X, t) .

$\mathcal{L} = \frac{m}{2}\Big(\dot{x}^2\big[1+\psi_x^2\big]+2\dot{x}\psi_x \psi_t + \psi_t^2 \Big) - m g \psi(x,t).$ Esto da la siguiente ecuación de movimiento para la partícula restringida a la cuerda (aunque puede haber algunos pequeños errores):

\ddot{X} [1 + ψ_{X}^{2}] + 2 \dot{X} (ψ_{X} [ψ_{X} \dot{X} + ψ_{t}] + ψ_{t} [ψ_{X X} \dot{X} + ψ_{X t}] + ψ_{X} [ψ_{X t} \dot{X} + ψ_{t t}]) = ψ_{X} {\dot{X}}^{2} + \dot{X} [ψ_{X X} ψ_{t} + ψ_{X} ψ_{X t}] + ψ_{t} ψ_{X X} - gramo ψ_{X} .

$\ddot{x}[1+\psi_x^2] + 2 \dot{x}\big(\psi_x[\psi_x \dot{x} + \psi_t] + \psi_t[\psi_{xx}\dot{x}+\psi_{xt}] + \psi_x[\psi_{xt}\dot{x}+\psi_{tt}]\big) = \psi_x \dot{x}^2 + \dot{x}[\psi_{xx}\psi_t + \psi_x \psi_{xt}] + \psi_t \psi_{xx} - g\psi_x.$ Esto debe resolverse junto con la ecuación de onda impulsada anterior para describir la dinámica. ¿Quizás uno puede ignorar algunos términos para pequeños desplazamientos para derivar una solución aproximada?

Juan cazador

¿Estás seguro de que la primera fórmula está bien? El término de fricción para algo que se desliza por un plano no suele depender de la velocidad...

kevinkayaks

Sí, es solo un arrastre dependiente de la velocidad en lugar de una fricción de culombio. Estaba buscando que la dinámica tuviera una velocidad terminal. Independientemente, sería bastante fácil modificar el problema después si estuviera seguro de cómo formular la dinámica de partículas.

gs

Sugeriría encontrar y = f(x), luego usar la conservación de la energía, donde el cambio en la energía potencial gravitacional debe ser igual al trabajo realizado por la fricción más el cambio en la energía cinética. Estoy de acuerdo con John Hunter en que la fuerza de fricción probablemente no debería depender de la velocidad.

kevinkayaks

No hay nada malo con una fuerza de arrastre dependiente de la velocidad. Tiene la intención de representar el hecho de que la resistencia en realidad se debe a que la cuenta "endereza" la cuerda a medida que pasa sobre ella. No es un bloque en un avión. La conservación de la energía parece un buen enfoque, aunque no sencillo, ya que se debe integrar sobre la cuerda que tiene una forma desconocida y cambiante.

gs

Puede que me equivoque, pero creo que puedes empezar suponiendo que el caso T=0 tiene la misma curva y = f(x) que el caso T>0. Entonces una vez que tienes y = f(x), tienes

m g Δ y = E (x) = T (x) + \int F_{f r i c t i o n} (x) d x

$mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Resuelva para T(x). Entonces

v (x) = d x / d t = \sqrt{2 T (x) / m}

$v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Integrar ambos lados de

d t = d x / v

$dt=dx/v$ para obtener t = f(x), resolver para x=f(t), tomar la derivada para obtener

d x / d t = f^{'} (t)

$dx/dt = f'(t)$

gs

por último, por supuesto, aplique y=f(x) para obtener dy/dt para el resto del vector de velocidad.

gs

espera, no, en realidad

v (x) = \sqrt{(d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2}}

$v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Pero como sabe y=f(x), al menos debería poder obtener v(x) = f(dx/dt) y trabajar a partir de ahí.

ytlu

@gs La función de cadena

y = f (x)

$y=f(x)$ también se cambia a medida que la cuenta se desliza:

y (x, t) = ψ (x, t)

$y(x, t)=\psi(x,t)$ , definido en el texto.

gs

@ytlu Quise decir que (x, y) es la posición de la cuenta, no la configuración de la cadena.

ytlu

@gramo

m g Δ y \neq T (x) + . .

$mg\Delta y \ne T(x) + ..$ y no hay manera de saber

y (x, t) = f (x (t))

$y(x,t) = f(x(t))$ .

ytlu

A medida que la cuenta se desliza hacia abajo, ¿podría generar una propagación de onda a lo largo de la cuerda? o simplemente considerar una flexión en la posición de la cuenta?

kevinkayaks

exactamente @ytlu, sí, podría. Uno necesita resolver la dinámica newtoniana de la cuenta junto con la ecuación de onda impulsada para la cuerda. El desplazamiento de la cuerda podría eliminarse del problema pero, en general, existe una disipación compleja que se origina en la dinámica de la cuerda. Por lo tanto, no está claro cómo aplicar la conservación de energía en mi opinión.

ytlu

@kevinkayaks No estoy seguro de tu significado. ¿Quiere adoptar un límite de amplitud pequeño y, por lo tanto, el desplazamiento de la cuerda es despreciable? dejó sólo una disipación de energía de la onda a través de la

m g δ (x - x_{p})

$mg \delta(x-x_p)$ en la ecuación de la cuerda de ondas? Pero existe una flexión obvia de la cuerda en la posición de

x_{p} (t)

$x_p(t)$ . Esto parece contradecir su eliminación del desplazamiento de la cuerda.

kevinkayaks

Por eliminar quiero decir que uno debería poder escribir la dinámica de partículas como

{\ddot{x}}_{p} (t) = F (x_{p}, {\dot{x}}_{p}, ψ (x))

$\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , luego exprese la dinámica de la cuerda a partir de una ecuación de onda impulsada como se indicó anteriormente, luego quizás resuelva la ecuación de onda para arbitrariamente

x_{p}

$x_p$ y conecta su solución

ψ

$\psi$ (parametrizado por

x_{p}

$x_p$ en la ecuación de dinámica de partículas, dando una ley de Newton compleja para la dinámica de partículas que no incluye la cuerda explícitamente. Esta es mi idea de todos modos. La cuerda debe moverse y disipar la energía del movimiento de las partículas, independientemente.

eli

y(x) es describir cadena colgante? función cosh

kevinkayaks

y (x)

$y(x)$ sería una parábola Eli si la cuenta no estuviera presente y la cuerda estuviera en equilibrio

Juan cazador

@kevinkayaks La conservación de la energía probablemente sería lo mejor, como lo menciona @ gs. Incluir términos para la extensión del cable.

E = 0.5 k x^{2}

$E=0.5kx^2$ , dónde

x

$x$ es extensión, calor generado por fricción

F d

$Fd$ dónde

d

$d$ es la distancia recorrida a lo largo del cable y el cambio en GPE y luego puede encontrar el aumento en KE, por lo tanto, la velocidad

kevinkayaks

La distancia recorrida depende de la forma de la cuerda, la cuerda lleva energía cinética, el trabajo realizado por la fricción no es

F d

$F d$ porque la fricción depende de la velocidad, no del coulomb, y no existe una velocidad de partícula única en función del tiempo sin restringir también la dinámica de la cuerda para minimizar su acción

kevinkayaks

Es muy extraño llamar a esta pregunta un "problema de tarea". Esta no es una cuenta en un alambre rígido como en la mecánica introductoria. Le sugiero a quienquiera que haya votado cerrar que intente resolver el problema.

biofísico

@kevinkayaks Esto no se cerró porque los usuarios pensaron que era como el estuche de alambre rígido, ni porque los usuarios pensaran que era trivial. PSE no es un sitio que resuelve problemas, sin importar la dificultad del problema. Sugiero leer los enlaces en el banner de cierre; deberían dejar las cosas más claras.

kevinkayaks

@BioPhysicist eso es 'interesante'. physics.stackexchange.com/questions/509358/… , physics.stackexchange.com/questions/459221/… , physics.stackexchange.com/questions/514142/… , physics.stackexchange.com/questions/580088/…

biofísico

@kevinkayaks Si cree que esas preguntas deberían cerrarse, puede marcarlas como tales :)

Respuestas (1)

Una cuenta que se desliza con fricción por un alambre flexible [cerrado]

¿Estás seguro de que la primera fórmula está bien? El término de fricción para algo que se desliza por un plano no suele depender de la velocidad...
Sí, es solo un arrastre dependiente de la velocidad en lugar de una fricción de culombio. Estaba buscando que la dinámica tuviera una velocidad terminal. Independientemente, sería bastante fácil modificar el problema después si estuviera seguro de cómo formular la dinámica de partículas.
Sugeriría encontrar y = f(x), luego usar la conservación de la energía, donde el cambio en la energía potencial gravitacional debe ser igual al trabajo realizado por la fricción más el cambio en la energía cinética. Estoy de acuerdo con John Hunter en que la fuerza de fricción probablemente no debería depender de la velocidad.
No hay nada malo con una fuerza de arrastre dependiente de la velocidad. Tiene la intención de representar el hecho de que la resistencia en realidad se debe a que la cuenta "endereza" la cuerda a medida que pasa sobre ella. No es un bloque en un avión. La conservación de la energía parece un buen enfoque, aunque no sencillo, ya que se debe integrar sobre la cuerda que tiene una forma desconocida y cambiante.
Puede que me equivoque, pero creo que puedes empezar suponiendo que el caso T=0 tiene la misma curva y = f(x) que el caso T>0. Entonces una vez que tienes y = f(x), tienes $mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Resuelva para T(x). Entonces $v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Integrar ambos lados de $dt=dx/v$ para obtener t = f(x), resolver para x=f(t), tomar la derivada para obtener $dx/dt = f'(t)$
por último, por supuesto, aplique y=f(x) para obtener dy/dt para el resto del vector de velocidad.
espera, no, en realidad $v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Pero como sabe y=f(x), al menos debería poder obtener v(x) = f(dx/dt) y trabajar a partir de ahí.
@gs La función de cadena $y=f(x)$ también se cambia a medida que la cuenta se desliza: $y(x, t)=\psi(x,t)$ , definido en el texto.
@ytlu Quise decir que (x, y) es la posición de la cuenta, no la configuración de la cadena.
@gramo $mg\Delta y \ne T(x) + ..$ y no hay manera de saber $y(x,t) = f(x(t))$ .
A medida que la cuenta se desliza hacia abajo, ¿podría generar una propagación de onda a lo largo de la cuerda? o simplemente considerar una flexión en la posición de la cuenta?
exactamente @ytlu, sí, podría. Uno necesita resolver la dinámica newtoniana de la cuenta junto con la ecuación de onda impulsada para la cuerda. El desplazamiento de la cuerda podría eliminarse del problema pero, en general, existe una disipación compleja que se origina en la dinámica de la cuerda. Por lo tanto, no está claro cómo aplicar la conservación de energía en mi opinión.
@kevinkayaks No estoy seguro de tu significado. ¿Quiere adoptar un límite de amplitud pequeño y, por lo tanto, el desplazamiento de la cuerda es despreciable? dejó sólo una disipación de energía de la onda a través de la $mg \delta(x-x_p)$ en la ecuación de la cuerda de ondas? Pero existe una flexión obvia de la cuerda en la posición de $x_p(t)$ . Esto parece contradecir su eliminación del desplazamiento de la cuerda.
Por eliminar quiero decir que uno debería poder escribir la dinámica de partículas como $\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , luego exprese la dinámica de la cuerda a partir de una ecuación de onda impulsada como se indicó anteriormente, luego quizás resuelva la ecuación de onda para arbitrariamente $x_p$ y conecta su solución $\psi$ (parametrizado por $x_p$ en la ecuación de dinámica de partículas, dando una ley de Newton compleja para la dinámica de partículas que no incluye la cuerda explícitamente. Esta es mi idea de todos modos. La cuerda debe moverse y disipar la energía del movimiento de las partículas, independientemente.
$y(x)$ sería una parábola Eli si la cuenta no estuviera presente y la cuerda estuviera en equilibrio
@kevinkayaks La conservación de la energía probablemente sería lo mejor, como lo menciona @ gs. Incluir términos para la extensión del cable. $E=0.5kx^2$ , dónde $x$ es extensión, calor generado por fricción $Fd$ dónde $d$ es la distancia recorrida a lo largo del cable y el cambio en GPE y luego puede encontrar el aumento en KE, por lo tanto, la velocidad
La distancia recorrida depende de la forma de la cuerda, la cuerda lleva energía cinética, el trabajo realizado por la fricción no es $F d$ porque la fricción depende de la velocidad, no del coulomb, y no existe una velocidad de partícula única en función del tiempo sin restringir también la dinámica de la cuerda para minimizar su acción
Es muy extraño llamar a esta pregunta un "problema de tarea". Esta no es una cuenta en un alambre rígido como en la mecánica introductoria. Le sugiero a quienquiera que haya votado cerrar que intente resolver el problema.
@kevinkayaks Esto no se cerró porque los usuarios pensaron que era como el estuche de alambre rígido, ni porque los usuarios pensaran que era trivial. PSE no es un sitio que resuelve problemas, sin importar la dificultad del problema. Sugiero leer los enlaces en el banner de cierre; deberían dejar las cosas más claras.
@BioPhysicist eso es 'interesante'. physics.stackexchange.com/questions/509358/… , physics.stackexchange.com/questions/459221/… , physics.stackexchange.com/questions/514142/… , physics.stackexchange.com/questions/580088/…
@kevinkayaks Si cree que esas preguntas deberían cerrarse, puede marcarlas como tales :)

ytlu · Answer 1

Propongo un esquema: aproximación casi estática, suponiendo que la cuerda siempre se mantiene en una solución estática a medida que la cuenta se mueve. Permítanme comenzar con la descripción de la cuerda sin cuenta.

ρ \frac{\partial^{2} y (X, t)}{\partial t^{2}} = T \frac{\partial^{2} y (X, t)}{\partial X^{2}} - ρ gramo .

$\rho \frac{\partial^2 y(x, t)}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g.$ Para una solución estática,

\frac{\partial y (x)}{\partial t} = 0

$\frac{\partial y(x)}{\partial t} = 0$ , la solución es una función cuadrática para dos condiciones de contorno dadas

y (x_{1}) = y_{1}

$y(x_1) = y_1$ , y

y (x_{2}) = y_{2}

$y(x_2) = y_2$ :

\begin{aligned} (1) & y (X) & = \frac{gramo}{2 v^{2}} X^{2} + A X + B . \\ (2) & A & = \frac{y_{2} - y_{1}}{X_{2} - X_{1}} - \frac{gramo}{2 v^{2}} (X_{2} + X_{1}); \\ (3) & B & = \frac{y_{1} X_{2} - y_{2} X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{gramo}{2 v^{2}} X_{1} X_{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} y(x) &= \frac{g}{2v^2}x^2 + A x + B.\tag{1}\\ A &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2 + x_1);\tag{2} \\ B &= \frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{x_2 - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_2.\tag{3} \end{align*}$ dónde

v = \sqrt{\frac{T}{ρ}}

$v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ es la velocidad de onda de la cuerda. Esto nos proporciona la función básica para el siguiente paso. En la figura siguiente se muestra un ejemplo con el parámetro

ρ = 1

$\rho=1$ ,

T = 20

$T=20$ . Una cuerda bastante suelta para una observación clara de la función cuadrática. (Tenga en cuenta que esto es diferente del problema de la catenaria, la cuerda que cuelga libremente, debido a la suposición de una tensión constante).

Con este conocimiento básico, agregamos el cordón en la posición fija, $x_p$ . La ecuación estática:

0 = T \frac{\partial^{2} y (X, t)}{\partial X^{2}} - ρ gramo - metro gramo d (X - X_{pag}) .

$0 = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g - mg \delta(x-x_p).$ Dividimos la solución en dos regiones:

\begin{matrix} (4) & y (X) = {\begin{array}{rr} \frac{gramo}{2 v^{2}} X^{2} + A_{1} X + B_{1} & para X_{1} < X < X_{pag} \\ \frac{gramo}{2 v^{2}} X^{2} + A_{2} X + B_{2} & para X_{pag} < X < X_{2} \end{array} \end{matrix}

$y(x) = \Big\{ { \begin{array}{rr} \frac{g}{2v^2} x^2 + A_1 x + B_1 & \text{ for } x_1 < x < x_p \\ \frac{g}{2v^2} x^2 + A_2 x + B_2 & \text{ for } x_p < x < x_2 \end{array} } \tag{4}$

Similar a Eq.2 y Eq.3, encuentre $A$ arena $B$ s parámetros en el intervalo $[x_1, x_p]$ , y $[x_p, x_2]$ asumir $y(x_p) = y_p$ .

\begin{aligned} A_{1} & = \frac{y_{pag} - y_{1}}{X_{pag} - X_{1}} - \frac{gramo}{2 v^{2}} (X_{pag} + X_{1}); \\ B_{1} & = \frac{y_{1} X_{pag} - y_{pag} X_{1}}{X_{pag} - X_{1}} + \frac{gramo}{2 v^{2}} X_{1} X_{pag} . \\ A_{2} & = \frac{y_{2} - y_{pag}}{X_{2} - X_{pag}} - \frac{gramo}{2 v^{2}} (X_{pag} + X_{2}); \\ B_{2} & = \frac{y_{pag} X_{2} - y_{2} X_{pag}}{X_{2} - X_{pag}} + \frac{gramo}{2 v^{2}} X_{2} X_{pag} . \end{aligned}

$\begin{align*} A_1 &= \frac{y_p - y_1}{x_p - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_1); \\ B_1 &= \frac{y_1 x_p - y_p x_1}{x_p - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_p.\\ A_2 &= \frac{y_2 - y_p}{x_2 - x_p} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_2); \\ B_2 &= \frac{y_p x_2 - y_2 x_p}{x_2 - x_p} + \frac{g}{2v^2} x_2 x_p. \end{align*}$

Entonces, la fórmula de conexión en $x= x_p$

\begin{aligned} {[\frac{\partial y}{\partial X}]}_{X_{pag}^{+}} - {[\frac{\partial y}{\partial X}]}_{X_{pag}^{-}} & = \frac{metro gramo}{T} \\ (5) & A_{2} - A_{1} & = \frac{metro gramo}{T} \end{aligned}

$\begin{align*} \left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^+} -\left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^-} & = \frac{mg}{T}\\ A_2 - A_1 & = \frac{mg}{T} \tag{5}\\ \end{align*}$

De la ecuación 5, encontramos la función $y_p(x_p)$ :

\begin{matrix} (6) & y_{pag} (X_{pag}) = y_{2} \frac{X_{pag} - X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + y_{1} \frac{X_{2} - X_{pag}}{X_{2} - X_{1}} - \frac{metro gramo}{T} \frac{(X_{2} - X_{pag}) (X_{pag} - X_{1})}{X_{2} - X_{1}} - \frac{gramo}{2 v^{2}} (X_{2} - X_{pag}) (X_{pag} - X_{1}) \end{matrix}

$y_p(x_p) = y_2\frac{x_p-x_1}{x_2-x_1} +y_1\frac{x_2-x_p}{x_2-x_1} -\frac{mg}{T} \frac{(x_2-x_p)(x_p-x_1)}{x_2-x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2-x_p)(x_p-x_1)\tag{6}$

La siguiente figura muestra la ecuación 4 y la ecuación 6 para $\rho=1$ , $T=200$ , $m=10$ con $x_p = 0.7$ Para grandes tensiones ( $200$ ), las funciones cuadráticas en ambas regiones son muy cercanas a las líneas lineales.

En esta figura, las direcciones de la fuerza están marcadas: la tensión $T_1$ , y $T_2$ en la dirección tangencial de la ecuación 4 con directiva discontinua entre ellos, la fuerza gravitatoria $mg$ en el $-\hat y$ dirección y fuerza de arrastre $-bv$ en la tangencial de $y_p(x_p)$ . Todas estas fuerzas pueden descomponerse en $x$ y $y$ componentes para calcular la fuerza a lo largo de la tangencial de $y_p(x_p)$ , que es la dirección de movimiento de la cuenta $m$ .

\begin{array}{llc} Dirección de movimiento & \hat{t} = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{d y_{pag}}{d X_{pag}})}^{2}}} (\hat{X} + \hat{y} \frac{d y_{pag}}{d X_{pag}}) & Ec.6 \\ Sube la tensión & {\vec{T}}_{1} = \frac{T}{\sqrt{1 + {(\frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{-}}^{2}}} {(\hat{X} + \hat{y} \frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{-}} & Ec.4 (a) \\ Bajar la tensión & {\vec{T}}_{2} = \frac{T}{\sqrt{1 + {(\frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{+}}^{2}}} {(\hat{X} + \hat{y} \frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{+}} & Ec.4 (b) \\ Masa de cuentas & {\vec{F}}_{gramo} = metro gramo \hat{y} \\ Arrastrando & {\vec{F}}_{d} = - γ v \hat{t} \end{array}

$\begin{array}{llc} \text{Moving direction} & \hat t = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_p}{dx_p}\right)^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy_p}{dx_p}\right)& \text{ Eq.6} \\ \text{Tension up } &\vec T_1= \frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}& \text{ Eq.4 (a)} \\ \text{Tension down } &\vec T_2=\frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+}^2}} \left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &\text{ Eq.4 (b)}\\ \text{Bead mass } & \vec F_g = mg \hat y & \\ \text{Dragging } & \vec f_d =-\gamma v \hat t & \\ \end{array}$ dónde

\begin{aligned} \frac{d y_{pag}}{d X_{pag}} & = \frac{y_{2} - y_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{metro gramo}{T} \frac{2 X_{pag} - X_{2} - X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{gramo}{2 v^{2}} (2 X_{pag} - X_{2} - X_{1}); \\ {(\frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{-}} & = \frac{gramo}{v^{2}} X_{pag} + A_{1}; \\ {(\frac{d y}{d X})}_{X_{pag}^{+}} & = \frac{gramo}{v^{2}} X_{pag} + A_{2}; \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dy_p}{dx_p} &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{mg}{T}\frac{2x_p-x_2-x_1}{x_2-x_1} +\frac{g}{2v^2}\left(2x_p - x_2- x_1\right);\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_1;\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_2; \end{align*}$

Finalmente, la ecuación de movimiento de la cuenta a lo largo de la $y_p(x_p)$ curva:

metro \frac{d v}{d t} = - γ v + {\vec{F}}_{gramo} \cdot \hat{t} - {\vec{T}}_{1} \cdot \hat{t} + {\vec{T}}_{2} \cdot \hat{t} .

$m\frac{dv}{dt} = -\gamma v + \vec F_g \cdot \hat t - \vec T_1 \cdot \hat t + \vec T_2 \cdot \hat t.$ El cordón está obligado a moverse a lo largo de la curva.

y_{p} (x_{p})

$y_p(x_p)$ , por lo tanto, hay fuerzas de restricción en la dirección vertical de

\hat{t}

$\hat t$ , que no se muestran en la figura.

Una cuenta que se desliza con fricción por un alambre flexible [cerrado]

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