Partículas puntuales clásicas a campos clásicos

Aunque no estoy 100% seguro de lo que está preguntando, creo que está hablando de considerar una red de puntos discretos y tomar el límite continuo tal que la distancia entre los puntos de la red tienda a cero.

El ejemplo más simple es considerar una barra elástica unidimensional con densidad de masa$\mu$. La fuerza aplicada sobre él debido al módulo de Young está dada por:

$$\begin{equation} F = -Y \xi \end{equation}$$ dónde $\xi$denota la deflexión de la barra elástica desde su posición de equilibrio. Podemos pensar en la barra como una cantidad infinita de partículas igualmente espaciadas en reposo donde dejaremos $m$denotamos la masa de cada partícula (que por supuesto es la misma para cada partícula) y dejamos $a$indican la distancia entre las partículas. Ahora, podemos escribir la densidad de masa de la siguiente manera: $$\begin{equation} \mu = \frac{dm}{dx} = \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{m}{a} \end{equation}$$

Ahora supondremos que cada partícula solo interactúa con sus vecinos más cercanos y, por lo tanto, la fuerza entre las partículas se puede aproximar utilizando la ley de Hooke:

$$\begin{equation} F = - \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right) = - \left( \kappa a \right) \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ Además, al escribir la fuerza expresada en términos del módulo de Young en términos de la distancia relativa $a$: $$\begin{equation} F = - Y \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ podemos escribir: $$\begin{equation} Y= \displaystyle\lim_{a\to 0} \left(\kappa a \right) \end{equation}$$ En resumen, hemos relacionado la constante de Hooke con el módulo de Young.

Además, por mecánica clásica ordinaria podemos escribir las energías potenciales en todos los resortes como:

$$\begin{equation} V= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \Delta y_i^2 = \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \end{equation}$$ y la energía cinética de todas las partículas viene dada por: $$\begin{equation} T= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \end{equation}$$ Por lo tanto, el Lagrangiano del sistema viene dado por: $$\begin{equation} L=T-V = \sum\limits_{i}\left[ \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 - \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right] \end{equation}$$ Usando la ecuación de Euler-Lagrange, podemos encontrar fácilmente las ecuaciones de movimiento para cada partícula. $j$en la varilla discretizada: $$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial y_k} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_k} \right) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial }{\partial y_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial}{\partial y_k} \left( \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right)^2 + \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \frac{1}{2} m \dot{y}_k^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right) + \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right) + m \ddot{y}_k = 0 \end{equation}$$ Consideremos ahora el límite en el que el espaciamiento en la varilla discretizada tiende a cero: $$\begin{align} y_k(t) & \rightarrow y(x,t) \\ y_{k+1}(t) & \rightarrow y(x+a,t) \\ y_{k-1}(t) & \rightarrow y(x-a,t) \\ y_{k+2}(t) & \rightarrow y(x+2a,t) \\ y_{k-2}(t) & \rightarrow y(x-2a,t) \\ & \dots \end{align}$$ Las ecuaciones de movimiento ahora se pueden escribir como: $$\begin{equation} - \kappa \left[ y(x+a,t) - y(x,t) - y(x,t) + y(x-a,t) \right] + m \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left[ \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} - \frac{y(x,t) - y(x-a,t)}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \left( \kappa a \right) \left[ \frac{\left(y(x+a,t) - y(x,t)\right)/a}{a} - \frac{\left(y(x,t) - y(x-a,t)\right)/a}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ Tomando el límite $a \rightarrow 0$, podemos escribir: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} = \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \end{equation}$$ y: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - 2y(x,t) + y(x-a,t)}{a^2} = \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} \end{equation}$$ Por lo tanto, obtenemos las ecuaciones de movimiento para la vibración del campo. $y(x,t)$: $$\begin{equation} -Y \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + \mu \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} = 0 \end{equation}$$

Editar:

Hay intentos de derivar la hidrodinámica de la teoría cinética de las moléculas, por ejemplo. No sé mucho de detalles, pero tiene que ver con promediar, suavizar y suposiciones probabilísticas. Por ejemplo, uno puede comenzar con$N-$función de distribución de partículas que satisface la ecuación de Liouville (descripción de partículas) y bajo ciertas suposiciones y después de muchos pasos complicados derivar nuevas ecuaciones para cantidades de campo como densidad o campo de velocidad que describen las partículas de manera probabilística.

Puedes echar un vistazo de qué se trata en R. Balescu: Statistical Dynamics, Matter out of equilibrio, Imperial College Press, 1997.