Un tensor de Levi-Civita de tres rangos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones

Puede usar cuadros/diagramas de Young y el grupo de permutación para averiguar las simetrías del tensor general de rango 3. Los espacios corresponden a las particiones del rango:

3=3 :

Un subespacio simétrico total de 20 dimensiones.

3=2+1 :

Dos subespacios de simetría mixta de 20 dimensiones.

3=1+1+1 :

Un subespacio de 4 dimensiones totalmente antisimétrico:

Esa es la única cosa antisimétrica que puedes hacer según la teoría de Schurl-Weyl.

Para encontrar las dimensiones, utilicé la fórmula de longitud de gancho (suma de las cajas$x$en un diagrama$Y(\lambda)$) para el diagrama de Young correspondiente a la partición entera:

Si consideras 3 dimensiones ($n=3$), usted obtiene${\rm dim} = 1$, ese es el símbolo estándar de Levi-Civita$\epsilon_{ijk}$.

si configuras$n=4$, el resultado es${\rm dim} = 4$.

Eso significa$A_{\alpha\beta\gamma}$se transforma como un cuadrivector.

Entonces, la única parte antisimétrica de un tensor de rango 3 en el espacio de Minkowski gira como un vector de 4, lo que significa que no es invariante y no es candidato para ser como Levi-Civita.

Mientras tanto, las dimensiones de los otros 3 espacios irreducibles son todos 20, que ciertamente no son escalares y, por lo tanto, no son candidatos para ser como Levi-Civita.

Tenga en cuenta que si considera los tensores de rango 4, las particiones son las siguientes:

4=4 :

35 dimensional y simétrico.

4=3+1 :

Tres espacios de simetría mixta de 45 dimensiones.

4=2+2 :

Dos espacios de simetría mixta de 20 dimensiones.

4=2+1+1 :

Tres espacios de simetría mixta de 15 dimensiones.

4=1+1+1+1 :

Un espacio unidimensional antisimétrico total, que es proporcional al símbolo de Levi-Civita$\epsilon_{\mu\nu\sigma\lambda}$.

En resumen, la respuesta es "No", y la razón tiene que ver con las representaciones del grupo simétrico en 3 letras. Divide el rango = 3, usa la correspondencia de Robinson-Schensted para asociar esa partición con representaciones irreducibles del grupo de permutación. (Los Young Diagrams hacen que este paso sea rápido). Luego, la dualidad de Schur-Weyl asocia aquellos con subespacios irreducibles de y tensor de rango N (permutaciones firmadas de índices). Finalmente, la fórmula de la longitud del gancho te dice las dimensiones de esos subespacios.

El símbolo de Levi-Civita debe ser invariable (p. ej., dimensión 1, como un escalar) y debe ser totalmente antisimétrico en todos los índices, y eso simplemente no existía para el rango 3 en 4 dimensiones.

¿Esto cumple con los requisitos?

En el espacio-tiempo de Minkowski (firma: -,+,+,+), sea$\epsilon_{abcd}$sea ​​el tensor alterno satisfactorio$\epsilon_{abcd}=\epsilon_{[abcd]}$y$\epsilon_{abcd}\epsilon^{abcd}=-24$y deja$v^a$sea ​​la 4-velocidad de un observador ($v^av_a=-1$).

Defina el "tensor alterno espacial visto por el observador$v^a$"

(Esto se extrae de "General Relativity, 1972 Lecture Notes" de Robert Geroch [ISBN 978-0987987174].)