Rango de operador de Kraus

Dado que todavía no hay una respuesta, pero la pregunta ha atraído algunos votos a favor, déjame dar más detalles sobre mi comentario. Esto es más matemáticas que física, pero en fin.

Escribiendo$\sum_{jk} \mathrm{tr}(E_j^{\dagger}E_i)|j\rangle\langle k|$no te da nada De hecho, esta es una descomposición de rango uno, pero el teorema no le dice que CUALQUIER descomposición de rango 1 tenga como máximo d^2 términos. Esto sería cierto, si$|j\rangle$fue la base propia de$\mathbb{C}^d$- pero no lo es.$W$es un$M\times M$matriz, por lo tanto$|j\rangle$es la base propia de$\mathbb{C}^M$y$M$podría ser mucho más grande que esto.

Sin embargo, lo cierto es que$E_j\in\mathbb{C}^{d\times d}$. La observación clave es que a lo sumo$d^2$de estos$E_j$por lo tanto, puede ser linealmente independiente y esto implica que$W$solo puede ser de rango como máximo$d^2$. Aquí hay una prueba (aunque no tan bonita):

Hay una base de$\mathbb{C}^{d\times d}$con$d^2$elementos, llámalo$F_j$, que es ortonormal con respecto a la traza del producto interno. Ahora bien, desde la$F_j$formar una base, para cada$E_j$tenemos:

$$E_j=\sum_i a_i^{(j)} F_i \qquad a_i^{(j)}\in\mathbb{C}\quad \forall\,j\in \{1,\ldots,N\}$$

el$E_j$son combinaciones lineales de$F_j$. Pero entonces, podemos reexpresar las columnas de W por$F_i$y obtener:

$$\operatorname{tr}(E_i^{\dagger}E_j)=\sum_{k=1}^{d^2} {a_k^{(i)}}^* a_k^{(j)}$$

Por definición de una base, sólo$d^2$del$E_i$puede ser linealmente independiente. Sin pérdida de generalidad, suponemos la primera$d^2$ $E_i$eran linealmente independientes. Entonces echemos un vistazo a la$(d^2+1)$columna. Desde$E_{d^2+1}$es linealmente dependiente, sus coeficientes$a_k^{(d^2+1)}$son combinaciones lineales de los otros$a^{(j)}$, decir

$$a^{(d^2+1)}_k=\sum_{j=1}^{d^2} b_ja_k^{(j)}$$

Pero entonces, podemos ver que

$$\operatorname{tr}(E_i^{\dagger}E_{d^2+1})=\sum_j b_j \operatorname{tr}(E_i^{\dagger}E_j)$$

por tanto, toda la columna es una combinación lineal de las columnas anteriores. Poniendo todo junto,$W$puede tener como máximo$d^2$columnas linealmente independientes. Entonces podemos diagonalizar$W$, ya que es hermítico y proceder como se indica.

No hay necesidad de introducir una base ortonormal para el espacio de operadores. Dejar

$$|w_k\rangle \equiv \sum_{j}W_{jk}|j\rangle = \sum_{j}\mathrm{tr}(E_j^\dagger E_k)|j\rangle$$ denota el$k$la columna de$W$. Como se ha señalado, a lo sumo$d^2$del$E_j$puede ser linealmente independiente. Supongamos sin pérdida de generalidad que$E_1, \dots, E_{d^2}$son linealmente independientes. Entonces, existen$c_{kl} \in \mathbb{C}$para cual$E_k = \sum_{l=1}^{d^2} c_{kl}E_l$para cualquier$k > d^2$. Por eso, $$|w_k\rangle = \sum_j \mathrm{tr}\left(E_j^\dagger \sum_{l=1}^{d^2}c_{kl}E_l\right)|j\rangle = \sum_{l=1}^{d^2} c_{kl} \left[\sum_j \mathrm{tr}(E_j^\dagger E_l)|j\rangle\right] = \sum_{l=1}^{d^2}c_{kl}|w_l\rangle,$$ es decir, por cada$k > d^2$, el$k$la columna de$W$es una combinación lineal de la primera$d^2$columnas de$W$. Por lo tanto, el número de columnas linealmente independientes es como máximo$d^2$, por lo que el rango es como máximo$d^2$.