Invariancia del intervalo de espacio-tiempo en la relatividad especial: linealidad

Estoy tratando de entender qué supuestos son necesarios para probar la invariancia del intervalo de espacio-tiempo.

Δ s 2 = C 2 Δ t 2 − Δ X 2
en relatividad especial. Los postulados de la relatividad especial son:

  • Principio de relatividad

  • la velocidad de la luz es constante en cada marco de referencia

Del segundo postulado es evidente que

d s ′ 2 = 0 ⟺ d s 2 = 0.
Luego, a partir de la respuesta Invariancia del intervalo de espacio-tiempo directamente del postulado, podemos ver cómo esto, y el hecho de que los dos infinitesimales son del mismo orden, conduce a
d s ′ 2 = a d s 2 .
En algunas otras respuestas (por ejemplo , Probando la invariancia de d s 2 de la invariancia de la velocidad de la luz ) se señala que d s ′ 2 = a d s 2 surge del hecho de que mi transformación de coordenadas es lineal.

Mi pregunta es: ¿cuál es la suposición que uso para probar d s ′ 2 = a d s 2 ? ¿Necesito linealidad y, de ser así, dónde la uso? ¿Y el principio de relatividad?

Necesita la linealidad de las transformaciones de coordenadas porque una partícula libre que se mueve en el espacio-tiempo debe seguir una línea recta en cualquier marco de inercia (la teoría de la relatividad debe ser compatible con el principio de inercia). También necesita homogeneidad del espacio-tiempo e isotropía en cada punto del espacio-tiempo (lo que implica homogeneidad).
Gracias por su respuesta. Sé que necesito linealidad para que "un movimiento no acelerado se asigne a otro movimiento no acelerado". Pero no veo cómo la linealidad juega un papel en el tema específico de la invariancia del intervalo de espacio-tiempo entre dos marcos de inercia.
Si la métrica toma una forma específica (Minkowski) en un marco inercial dado, obviamente debería tener la misma forma en todos los demás marcos inerciales ya que estos marcos son todos equivalentes. No puede distinguir los marcos de su métrica.
Para mis notas personales sobre la relatividad, escribí 4 páginas sobre este problema hace mucho tiempo. Si sabes leer francés, podría enviártelos por correo electrónico. Es esencialmente la misma demostración que la que se encuentra en el viejo libro de Landau/Lifchitz. También puede consultar el libro de Ohanian: Gravitation and spacetime . Creo que hay una buena demostración ahí.

Respuestas (1)

Creo que hay dos formas de argumentar esto:

  1. vía el principio de relatividad: la métrica debe ser la misma en todos los marcos inerciales, por lo tanto d s 2 = d s ′ 2 inmediatamente. (Sin embargo, no es inmediato que la métrica deba ser Minkowski)

  2. a través de la constancia de la velocidad de la luz: d s 2 = 0 si y solo si d s ′ 2 = 0 , luego, usando la linealidad como en la respuesta vinculada de Valter Moretti, debemos tener d s ′ 2 = a d s 2 . Entonces se puede argumentar que a = 1 .

Tenga en cuenta que se requiere la linealidad de las transformaciones de Lorentz en la segunda ruta. Se puede demostrar que la homogeneidad implica que las transformaciones de Lorentz son afines. En este caso, esto es suficiente para la linealidad porque solo nos importan las diferencias. Δ X , que son insensibles a una constante añadida.

En cuanto a la pregunta: ¿dónde uso la linealidad? la respuesta está en la prueba de Valter Moretti del teorema vinculado anteriormente.

Entonces, corrígeme si me equivoco: el hecho de que los dos infinitesimales sean del mismo orden más la constancia de la velocidad de la luz me hacen decir que d s ′ 2 = a d s 2 . Usando la homogeneidad del espacio (por lo tanto, la linealidad) puedo establecer a = 1 . Entonces, en esta prueba, mis suposiciones son: constancia de la velocidad de la luz y homogeneidad del espacio (es decir, linealidad), no necesito usar el principio de relatividad. ¿Tengo razón?
La constancia de la velocidad de la luz más la linealidad (o infinitesimales del mismo orden) da d s ′ 2 = a d s 2 . La razón por la que puede configurar a = 1 por otro lado no tiene nada que ver con la linealidad, sino con la homogeneidad y la isotropía. Esto lo explica Landau en las primeras páginas de The Classical Theory of Fields.
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