Un problema de conmutación en el modelo de Hubbard

Se sugirió un cálculo directo en los comentarios, por lo que estoy publicando esto en aras de la exhaustividad.

Usando la identidad de la matriz de Pauli$\sigma_{\alpha\beta}\cdot\sigma_{\gamma\delta}=2\delta_{\alpha\delta}\delta_{\beta\gamma}$y la representación de los operadores de espín$\mathbf{S}_i=c_{i\alpha}^\dagger \sigma_{\alpha\beta}c_{i\beta}$, es sencillo verificar la siguiente identidad:

$$\mathbf{S}_i\cdot \mathbf{S}_j=-\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta}c_{i\alpha}^\dagger c_{j\beta}^\dagger c_{i\beta} c_{j\alpha}-\frac{n_i n_j}{4}$$

En particular, podemos comprobar

$$\mathbf{S}^2=\sum_i\mathbf{S}_i^2=\frac{1}{2}\sum_i(n_i-\frac{3}{2}n_i^2)=\frac{N}{2}-\frac{3}{4}\sum_in_i^2$$ El primer término es proporcional al operador de número total, que conmuta con el hamiltoniano de Hubbard, ya que se sabe que es un hamiltoniano que conserva el número de partículas. Entonces solo necesitamos verificar el conmutador con el segundo término. El término de salto es el término potencialmente no conmutativo, porque$n_i, n_{i\uparrow},n_{i\downarrow}$son todos operadores diagonalizables simultáneamente.

$$\begin{align} \left[\sum_m n_m^2,\sum_{<ij>,\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= \sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}} \left[n_{m\alpha}n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]\\ &=\sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}}\left(n_{m\alpha}\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]+\left[n_{m\alpha},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]n_{m\beta}\right) \end{align}$$

Calculemos uno de estos conmutadores,

$$\begin{align} \left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= c_{i\sigma}^\dagger\left[n_{m\beta}, c_{j\sigma}\right]+\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger \right]c_{j\sigma}\\ &=c_{i\sigma}^\dagger(-\delta_{jm}\delta_{\beta\sigma}c_{j\sigma})+(\delta_{im}\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger)c_{j\sigma}\\ &=(\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} \end{align}$$

Poniendo esto de nuevo,

$$\begin{align} \left[\sum_m n_m^2,\sum_{<ij>,\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= \sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}}\left[n_{m\alpha} (\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + (\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\alpha\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} n_{m\beta}\right]\\ &=\sum_{<ij>,\sigma} \left[(n_i-n_j) c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} (n_i-n_j)\right] \end{align}$$

Ahora podemos usar el conmutador.$\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]$derivada arriba una vez más para llevar todos los operadores numéricos a la derecha, dejando atrás

$$\sum_{<ij>,\sigma}2 c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}(1+n_i-n_j)$$ que genéricamente no desaparece. Así es claro que$\sum_i \mathbf{S}_i^2$no conmuta con el hamiltoniano de Hubbard.