Simetría de Bloch hamiltoniano

Que un hamiltoniano conserve una simetría significa

$$[H, C] = 0 \Rightarrow CHC^\dagger = CHC^{-1} = H$$ Para un operador de simetría unitaria $C$(o antiunitario si se trata de inversión de tiempo).

El hamiltoniano de un sistema de materia condensada cristalina escrito en términos de la matriz de Bloch es:

$$H = \sum_{\vec k} \psi^\dagger(\vec k) H(\vec k) \psi(\vec k)$$ Dónde $$\psi(\vec k) = \begin{pmatrix} \vdots \\ c_i(\vec k) \\ \vdots \end{pmatrix}.$$ Y $c_i(\vec k)$son los aniquiladores de electrones en $\vec k$en estado $i$(que es un índice combinado de giro y banda). Como $C$es aplicado a $\vec k$, debe ser una simetría espacial (es decir, una simetría de red).

La transformación de$\psi(\vec k)$bajo$C$se obtiene fácilmente mediante argumentos.$C$es una transformación espacial, por lo tanto$C\psi(\vec k)C^{-1}$hace lo siguiente:

1. las coordenadas se transforman.
2. una partícula con momento$\vec k$se destruye en las nuevas coordenadas.
3. la rotación espacial se deshace dejando una partícula con momento$C \vec k$destruido en las coordenadas originales.

efecto esto significa que$C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$.

Usando los resultados anteriores:

$$H = CHC^{-1} = \sum_{\vec k} C\psi^\dagger(\vec k)C^{-1}C H(\vec k) C^{-1}C \psi(\vec k)C^{-1}.$$ Como $C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$, $C H(\vec k) C^{-1} = H(C\vec k)$deben sostener, para asegurar la igualdad a $H$(que luego se muestra al volver a etiquetar la variable de suma $\vec k' = C\vec k$).