Muestra la identidad: ∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i=1n(x2−i2)∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i= 1n(x2−i2)\prod^{2n+1}\limits_{i=1}(x+n+1-i) = x\prod^{n}\limits_{i=1}(x^2- yo ^ 2)

Estoy leyendo Introducción a la teoría de la estadística de Mood y Graybill. Uno de los ejercicios en los primeros capítulos es mostrar la siguiente identidad:

$$\prod^{2n+1}_{i=1}(x+n+1-i) = x\prod^{n}_{i=1}(x^2-i^2)\tag{1}$$

Intentar este ejercicio es la primera vez que necesito mostrar algo realmente complejo. Nunca antes había necesitado intentar tanta creatividad y lo encuentro muy agradable. Para mí, es mi ceremonia de iniciación en el mundo de la resolución de problemas matemáticos reales (no los tipos de problemas triviales que encuentras en la escuela secundaria y en los cursos universitarios de semestre de introducción). Pero como los tres métodos que probé por mi cuenta fueron infructuosos, vengo aquí en busca de ayuda.

Mi observación inicial fue que el$2n+1$a la izquierda podría convertirse en un$n$como está a la derecha eliminando una sola iteración y agrupando inteligentemente las multiplicaciones para que pueda dividir el resto$2n$iteraciones en$n$iteraciones

Acercamiento (1)

Mi primer enfoque eliminó ingenuamente el$+1$término en el$2n+1$a la izquierda, con la esperanza de que hubiera alguna agrupación para la que sería capaz de eliminar un$x$de toda la multiplicación y terminar con el término de la derecha. Empecé esto:

$$\begin{align} \prod^{2n+1}_{i=1}(x+n+1-i) &= (x+n+1-(2n+1))\prod^{2n}_{i=1}(x+n+1-i) \\ &= (x-n)\prod^{2n}_{i=1}(x+n+1-i) \tag{2} \end{align}$$

Luego, tratando de agrupar la multiplicación por$i$y$i+1$, obtenemos

$$\begin{align} (x-n)\prod^{2n}_{i=1}(x+n+1-i) &= (x-n)\prod^{n}_{i=1}(x+n+1-i)(x+n+1-i-1) \\ &= (x-n)\prod^{n}_{i=1}(x+n+1-i)(x+n-i) \\ \tag{3} \end{align}$$

Nada espectacularmente bueno salió de esto hasta ahora, y hay dos enfoques más, así que decidí seguirlos antes de profundizar en (1).

Enfoque 2

Esta vez traté de usar un spin-off del coeficiente binomial.

Puedo reescribir la izquierda de$(1)$, sustituyendo$u=x+n+1$

$$\sum^{2n+1}_{i=1}(u^iC_i)$$

$C_i$es un numero interesante Llevar$\binom{2n+1}{i}$conjuntos de cada número de$1$a$2n+1$, resultando en el conjunto$Q$. Para cada uno de los elementos de$Q$, eliminar de forma única$i$números, es decir, todos los elementos de$Q$debe ser una combinación única de longitud$n-i$de todos los números de$1$a$2n+1$. Tome el producto de cada uno de los conjuntos de intervalos en$Q$y sumarlos. Esto da como resultado el coeficiente$C_i$.

En la misma línea, podemos reescribir el derecho de$(1)$como

$$x\sum^{n}_{i=1}x^{2i}(-1)^{(n-i)}G_i$$

Aquí$G_i$es otra función de coeficiente, lo mismo que$C_i$pero usando$i^2$en lugar de$i$.

También intentaría reescribir la ecuación$(3)$, ya simplificado por lo que sus límites de multiplicación son$1$y$n$, como una suma de tipo binomial.

Sin embargo, me di cuenta de que este enfoque podría volverse muy complejo, y un tercer enfoque parecía prometedor, así que decidí continuar con el siguiente.

Enfoque (3) MÁS PROMETEDOR Esto es similar a mi primer enfoque pero menos ingenuo. Traté de quitar un$x$término del producto y de alguna manera agrupar el producto para obtener los límites de$2n$a$n$.

Usando$i=n+1$como el índice de eliminación, salgo$(x+n+1-(n+1))=x$. Ahora mis intervalos de multiplicación son$[1,n] \bigcup [n+2, 2n+1]$. Entonces, agrupando$(u-i)$y$(u-(2n+2-i))$(usando$2n+2$porque$i$empieza a$1$y no$0$),

$$\begin{align} x\prod^{2n}_{i=1}(x+n+1-i) \\ &= x\prod^{n}_{i=1}(x^2-i^2+2in+2i-n^2-2n-1) \end{align}$$

Tengo$x^2-i^2$pero también un montón de basura.

¿Quizás una pareja alternativa sería mejor?

Ahora estoy emparejando$(u-i)$con$(u-(n+1+i))$para obtener

$$\begin{align} x\prod^{2n}_{i=1}(x+n+1-i) \\ & = x\prod^{n}_{i=1}(x+n+1-i)(x+n+1-(n+1+i)) \\ &= x\prod^{n}_{i=1}(x^2-i^2+in+i+nx+x) \end{align}$$

esto tiene la$x^2-i^2$pero también un montón de basura. Otro callejón sin salida aparente.

He hecho mi propia exploración y ahora necesito un poco de orientación. ¿Cuál es el mejor camino a seguir? ¿Dónde está mal mi mentalidad? ¿Cuál debería haber sido mi ataque inicial?

EDITAR:

Después de una valiosa discusión en la respuesta a continuación, me di cuenta de que había descuidado un criterio esencial para los factores de emparejamiento, a saber, que el$n+1$cancelar para ambos factores. si emparejamos$x+n+(i-n)$y$(x+n-(i-n))$entonces el RHS de$(1)$sigue inmediatamente. El criterio para la solución.

1. Tener un$x$factor
2. Límites de multiplicación límite superior en$n$
3. El término del producto es$(x+1)(x-1)$, es decir, el esquema de emparejamiento debe cancelar el$n+1$para ambos factores.