¿Un cuerpo siempre gira puramente alrededor de su centro de masa? [duplicar]

Un cuerpo en movimiento libre no necesariamente gira alrededor del centro de masa. El centro de masa puede tener un movimiento lineal recto además de cualquier rotación. El movimiento general es un movimiento de tornillo con una rotación alrededor de un eje instantáneo y una traslación paralela al mismo tiempo.

Considere un cuerpo arbitrario que gira por$\vec{\omega}$y en algún instante el centro de masa (punto C ) tiene velocidad lineal$\vec{v}_C$.

Puedo probar que siempre hay un punto A donde la velocidad lineal del cuerpo rígido extendido es solo paralela al eje de rotación definido por$\vec{\omega}$. El movimiento combinado es una rotación alrededor de A con una traslación paralela de$\vec{v}_A = h \vec{\omega}$. el escalar$h$se llama tono. Si el cuerpo gira puramente sin traslación, entonces$h=0$y si el cuerpo es puramente traduce entonces$h=\infty$y$\|\vec{\omega}\|=0$.

El movimiento de un movimiento rígido arbitrario se descompone como tal:

• Velocidad de rotación $$\omega = \| \vec{\omega} \|$$
• Dirección de rotación $$\hat{e} = \frac{\vec{\omega}}{\omega}$$
• Ubicación del eje de rotación $$\vec{r}_A = \vec{r}_C + \frac{\vec{\omega}\times \vec{v}_C}{\omega^2}$$
• Paso de tornillo $$h = \frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C}{\omega^2}$$

_{NOTAS:$\cdot$es el producto interno del vector, y$\times$es el producto vectorial vectorial.}

Prueba

La velocidad lineal en A se encuentra mediante la ley de transformación del marco

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C)$$ Usando la expresión de ubicación de arriba es

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega} \times(\vec{\omega}\times \vec{v}_C)}{\omega^2}$$

Uso del producto triple vectorial

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C)-\vec{v}_C (\vec{\omega}\cdot\vec{\omega})}{\omega^2}$$

Con la simplificación de que$(\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}) = \omega^2$y la definición de paso de tornillo$\vec{\omega}\cdot\vec{v}_C = h \omega^2$lo anterior es

$$\vec{v}_A = \vec{v}_C + \frac{\vec{\omega}(h \omega^2)-\vec{v}_C (\omega^2)}{\omega^2} = h \vec{\omega}$$

Entonces la velocidad en A es paralela a la rotación$\vec{\omega}$

Prueba inversa

Puede partir de un movimiento de tornillo general en un punto conocido A , con dirección$\hat{e}$, velocidad$\omega$y tono$h$(dos parámetros para el punto ya que la ubicación a lo largo de la línea no cuenta, dos parámetros para la dirección ya que la magnitud no importa, uno para la velocidad y otro para el paso es igual a seis parámetros independientes que describen el movimiento. Estos se transformarán a los seis parámetros de movimiento más familiares$\vec{\omega}$y$\vec{v}_C$abajo:

• Vector rotacional $$\vec{\omega} = \omega \hat{e}$$
• Vector lineal $$\begin{align} \vec{v}_C &= \vec{v}_A - \vec{\omega} \times (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \\ & = h \vec{\omega} + (\vec{r}_A-\vec{r}_C) \times \vec{\omega} \end{align}$$

Los seis parámetros de movimiento están definidos ahora en el centro de masa. A veces lo anterior se combina en una sola expresión

$$\begin{bmatrix} \vec{v}_C \\ \vec{\omega} \end{bmatrix} = \omega \begin{bmatrix} h \hat{e} + \vec{r}\times \hat{e} \\ \hat{e} \end{bmatrix}$$ que claramente descompone el movimiento en la magnitud (velocidad) en la primera parte, y el eje del tornillo (geometría) en la segunda parte. Los dos vectores que definen el eje del tornillo se denominan coordenadas de línea de plücker.

Ejemplo

Un cuerpo cilíndrico gira alrededor de su eje y se traslada perpendicularmente al eje (vectores rojos). Este movimiento se describe mediante una rotación pura sobre el eje del tornillo (vectores morados).

¿Un cuerpo siempre gira puramente alrededor de su centro de masa?

Bueno eso depende. La primera suposición que necesita es que el cuerpo es rígido. Viole esta suposición y todas las apuestas están fuera de la mesa porque ni siquiera puede clasificar necesariamente todos los movimientos como "rotaciones": por ejemplo, si una tabla larga y delgada comienza a girar sinusoidalmente hacia / desde una forma de hélice, hacia adelante y hacia atrás, es eso modo de vibración una "rotación" sobre algún "eje"? ¿Positivo o negativo? ¿Y qué eje?

La forma formal de hacer que un objeto sea rígido es fijar todas las distancias , lo que significa que cualquier movimiento del objeto es, técnicamente hablando, una isometría. Las isometrías vienen en tres sabores: una isometría es una composición de reflexiones, traslaciones y rotaciones. Las reflexiones no son válidas para el movimiento porque no son isometrías "continuas". De hecho, cualquier otro movimiento puede verse como una traslación de un punto y una rotación alrededor de ese punto, para cualquier punto sobre (¡o fuera!) del objeto. Entonces, elija el punto para que sea el centro de masa: entonces cualquier movimiento debe ser una traslación del centro de masa más una rotación alrededor de ese centro de masa.

Tenga en cuenta que hay un problema desagradable persistente: supongamos que tenemos una pelota atada a una cuerda, que giramos alrededor de nuestra cabeza. Suponga que la pelota no es esféricamente simétrica: entonces sí, podemos describir el movimiento de la pelota entre dos puntos como una traslación seguida de una rotación alrededor del centro de masa: sin embargo, esto no es lo que queremos decir cuando hablamos de qué es la pelota. "girando", que somos nosotros, sosteniendo la cuerda.

Para eso tenemos que recurrir no sólo a la matemática abstracta de los grupos$E^+(3)$y$O(3)$y$SO(3),$sino también la dinámica del sistema.

En estos casos podemos decir que si todas las fuerzas son centrales (el sistema se puede modelar como un grupo de masas puntuales que tienen fuerzas dirigidas entre sí, satisfaciendo la tercera ley de Newton), mientras no haya fuerzas externas , la dinámica se desacopla en una traslación continua del centro de masa en línea recta (el centro de masa no acelera) y una rotación continua alrededor de algún eje$\vec \omega$.