Un carrete en la teoría de la relatividad especial de Einstein

Armazón de alambre sin bobinar: La bobina tarda mucho tiempo en dar una vuelta. Se necesita mucho tiempo para que todo el cable se desenrolle. El hilo de la bobina se contrae de forma interesante, por ejemplo en el punto donde el hilo sale de la bobina la contracción es cero, mientras que en el lado opuesto de la bobina la contracción de la longitud es mayor.

Bastidor del cubo del carrete: el carrete tarda poco tiempo en dar una vuelta. Toma poco tiempo para que todo el cable se desenrolle. El alambre en el carrete se contrae, y también se contrae el alambre desenrollado. Nada demasiado extraño aquí.

Y aquí hay una versión matemática:

Armazón del cable sin bobinar: El carrete tarda gamma veces más tiempo en dar una vuelta, en comparación con el armazón del concentrador. Toma gamma veces más tiempo para que todo el cable se desenrolle, en comparación con el marco del concentrador. El hilo de la bobina se contrae de forma interesante, por ejemplo en el punto donde el hilo sale de la bobina la contracción es cero, mientras que en el lado opuesto de la bobina la contracción de la longitud es proporcional a gamma(v), donde v es el resultado de la suma relativista de la velocidad del cubo en el marco del alambre sin bobinar y la velocidad de los alambres en el marco del cubo.

No estoy seguro de cuál es tu pregunta. Cuando tenga en cuenta el tiempo de viaje de la luz que proviene del cable, el carrete verá la cantidad adecuada de progresión física como debería dentro del marco de tiempo relativamente más pequeño designado por SR.

Dudo en responder esto porque es completamente estándar y debe haber sido preguntado y respondido cientos de veces antes. Pero dado que la pregunta se ha enviado automáticamente a la página de inicio, espero que esto la termine:

Claramente, el carrete da el mismo número de vueltas en cada fotograma. Si el carrete comienza a rodar al mediodía (según su reloj interno y el reloj del observador en el suelo), entonces deja de rodar a las (digamos) 2:00 según el observador en el suelo, después de haber girado (digamos) 120 veces y en el tiempo (digamos) 1:00 según el observador que monta el carrete, habiendo girado también el mismo 120 veces. El observador en el carrete dice que el carrete tarda 30 segundos en completar un giro; el observador en el suelo dice que el carrete tarda 60 segundos en completar un giro. En otras palabras, el observador en el suelo dice que el carrete se desenrolla a la mitad de su velocidad.

No hay paradoja.

Sí, parece una paradoja, porque en el marco del "cable en el suelo" debido a la dilatación del reloj en movimiento, la rotación de un carrete debe disminuir, ya que el centro del carrete se mueve cada vez más rápido. Cuando el centro de la bobina alcanza una velocidad muy cercana a la de la luz, la rotación se detiene casi por completo y el alambre debe romperse.

Parece una paradoja, porque el alambre no puede rasgarse en un marco y permanecer intacto en otro.

La resolución de la paradoja es en cinemática relativista. Borde del carrete Lorentz – contratos.

La longitud restante del borde del carrete debe permanecer constante. Esto significa que la llanta Lorentz se contrae y que la extensión radial del carrete se contrae en consecuencia. El resultado es que el carrete se vuelve infinitamente pequeño en el límite en que el carrete se mueve con la velocidad de la luz.

Si$v$es la velocidad en el borde en el marco de descanso$K$de la bobina, tenemos$\Omega=v/R$, dónde$R=R_0/\gamma$es el radio contraído del carrete giratorio, y$R_0$es su radio cuando está en reposo. La velocidad angular del carrete giratorio es entonces

$\Omega = \gamma v /R_0$

Por lo tanto, en este caso la velocidad angular$\Omega$debe aproximarse a un valor infinitamente grande en$K$cuando la velocidad del alambre se acerca a la de la luz. Como se observa en el marco de alambre "sin bobinar"$K'$, la distancia entre las marcas en el alambre cada vez que un punto en un borde del carrete sale es

$l'=\gamma 2 \pi R = 2\pi R_0$

y esta distancia es independiente de la velocidad del carrete, incluso si el radio del carrete disminuye al aumentar la velocidad, porque la distancia entre las marcas depende de la longitud en reposo del borde del carrete y no de su longitud contraída de Lorentz. También en este marco, la velocidad angular del carrete permanece finita incluso si el carrete tiene un radio de fuga cuando la velocidad del carrete se acerca a la de la luz,

$\Omega'=\gamma^{-1} \Omega = v/R_0$

y por lo tanto$\lim\limits_{v \to c} \Omega' =c/R_0$, que es finito.