U(2)U(2)U(2) o SU(2)SU(2)SU(2)? Interferómetros y matrices de Jones

Recientemente he estado tratando de entender por qué las matrices de dispersión que describen un interferómetro deben ser$SU(2)$matrices en lugar de$U(2)$. La condición de unitaridad no se discute, ya que se deriva de la conservación de la energía. Pero, ¿por qué el determinante debería ser especialmente 1?

Entiendo que

$$\textrm{U(2)}=\left\{ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ -B^{*}e^{i\theta} & A^{*}e^{i\theta} \end{array}\right)\left|A,B\in\mathbb{C},\theta\in\mathbb{R},\left|A\right|^{2}+\left|B\right|^{2}=1\right.\right\} ,$$ mientras $$\textrm{SU(2)}=\left\{ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ -B^{*} & A^{*} \end{array}\right)\left|A,B\in\mathbb{C},\left|A\right|^{2}+\left|B\right|^{2}=1\right.\right\} .$$ Si tenemos operadores de aniquilación de entrada $\hat{a}_{1/2}$y salida $\hat{b}_{1/2}$, que una matriz en $U(2)$da $$\left(\begin{array}{c} \hat{b}_{1}\\ \hat{b}_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A & B\\ -B^{*}e^{i\theta} & A^{*}e^{i\theta} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \hat{a}_{1}\\ \hat{a}_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A \hat{a}_{1}+ B\hat{a}_{2}\\ e^{i\theta}\left(-B^{*}\hat{a}_{1} + A^{*}\hat{a}_{2}\right) \end{array}\right).$$

No me queda claro cómo físicamente esta fase de indeterminación$e^{i\theta}$en una de las dos salidas debe descartarse. Sin embargo, si calculo cantidades como el número de fotones$\hat{b}_{2}^\dagger\hat{b}_{2}$, esta fase desaparece!

La misma situación ocurre con el formalismo de Jones, que siempre ha$SU(2)$matrices.