Elementos de matriz del operador x^p^x^p^\hat{x} \hat{p} en base a posición y momento

No tiene ningún sentido, excepto que no debería haber un signo menos (como se menciona en los comentarios) y que tomó un operador fuera de un valor esperado, lo que creo que funcionó bien en este caso, pero en general debería ser evitado Más conservadoramente,

$$\hat x = i \hbar \frac{d}{d \hat p}$$

resulta que

$$\langle q \mid \hat x \hat p \mid q' \rangle = q' \langle q \mid \hat x \mid q' \rangle = i \hbar q' \langle q \mid \frac{d}{d \hat p} \mid q' \rangle = i \hbar q' \langle q \mid \frac{d}{d q'} \mid q' \rangle$$

Recuerde, un estado físico real nunca es un eigenket de momento (o posición) idealizado. Una descripción un poco más realista de un estado físico es un paquete de ondas con un ancho estrecho alrededor de un impulso:

$$\mid p, \sigma \rangle = \int \frac{dq}{2 \pi \hbar} \, \left( \frac{2 \pi \hbar^2}{\sigma^2}\right)^{1/4} e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \mid q \rangle$$

Puedes comprobar que esto está normalizado a la unidad, porque

$$\langle p, \sigma \mid p, \sigma \rangle = 1$$

Recuerda eso$\langle p \mid q \rangle = 2 \pi \hbar \delta(p-q)$. Ahora, el valor esperado de$\hat x \hat p$porque este estado físico es

$$\langle p, \sigma \mid \hat x \hat p \mid p, \sigma \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma } \int dq \, dq' \, e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q'-p}{\sigma} \right)^2} \frac{\langle q \mid \hat x \hat p \mid q' \rangle}{2 \pi \hbar}$$

Usando el resultado anterior, podemos integrar el$q'$integral por partes, dando

$$\frac{-i\hbar}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma } \int dq \, dq' \, e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \frac{d}{dq'} \left( q' e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q'-p}{\sigma} \right)^2} \right) \frac{\langle q \mid q' \rangle}{2 \pi \hbar}$$

Desde$\langle q \mid q' \rangle = 2 \pi \hbar \delta(q-q')$, podemos integrar q (y luego volver a etiquetar q' como q), haciendo de esto una integral simple

$$\frac{-i\hbar}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \int dq \, e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \frac{d}{dq} \left( q e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \right)$$

Podemos integrar de nuevo por partes, terminando con

$$\frac{i\hbar}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \int dq \, q e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \frac{d}{dq} \left( e^{- \frac{1}{4} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2} \right)$$

que es un poco más fácil de evaluar ya que no tenemos que usar la regla del producto. La derivada reduce un factor$-(q-p)/2\sigma^2$, y las dos exponenciales se combinan, dejándonos con

$$\frac{-i\hbar}{ 2\sqrt{2 \pi} \, \sigma^3} \int dq \, q(q-p) e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{q-p}{\sigma} \right)^2}$$

La primera$q$en el integrando se puede reescribir como$(q-p) + p$. Luego hay dos términos, el último de los cuales tiene un integrando impar (de la forma$(q-p) \exp(\alpha (q-p)^2)$y desaparece. Entonces, cambiando el integrando a$x = (q-p)/\sigma$, nos quedamos

$$\frac{-i\hbar}{ 2\sqrt{2 \pi}} \int dx \, x^2 e^{- \frac{1}{2} x^2}$$

La integral restante es una integral gaussiana de libro de texto, igual a

$$\int dx \, x^2 e^{-\frac{1}{2} x^2} = \sqrt{2\pi}$$

Entonces, el valor esperado del operador$\hat x \hat p$porque el paquete de ondas es simplemente

$$\frac{-i\hbar}{2}$$