Truco para derivar el tensor de tensiones en cualquier teoría

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Truco para derivar el tensor de tensiones en cualquier teoría

Física
teoría de campo
teorema de noethers
tensión-energía-momentum-tensor

Prastt

En las notas de D. Tong sobre teoría de cuerdas ( pdf ), sección 4.1.1, explica un truco para derivar el tensor de tensión-energía que surge de las traslaciones en la variedad base de la teoría de campo (en este caso, la hoja mundial). El problema es que no entiendo exactamente cómo funciona el procedimiento. Necesito ver algunos ejemplos trabajados.

¿Alguien puede compartir algunas referencias en las que pueda leer sobre esto con todo detalle, tal vez con algunos ejemplos resueltos?

EDITAR: Quizás debería explicar un poco más dónde estoy parado.

Por lo general, para derivar el tensor de momento de energía hacemos una traslación en la variedad base, digamos $x^\mu$ en la notación QFT habitual.

X^{m} \to X^{' m} = X^{m} + ϵ^{m}

$x^\mu\to x'^\mu=x^\mu+\epsilon^\mu$ sin cambiar el campo de forma directa:

ϕ (X) \to ϕ^{'} (X^{'}) = ϕ (X)

$\phi(x)\to \phi'(x')=\phi(x)$

\Rightarrow d ϕ (X) = - ϵ^{m} \partial_{m} ϕ (X)

$\Rightarrow \delta\phi(x)=-\epsilon^\mu\partial_\mu\phi(x)$ Entonces en la variación de la acción es

d S = \int_{R} d^{4} X [\frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ} d \partial_{m} ϕ] + \int_{\partial R} d σ_{m} L ϵ^{m}

$\delta S=\int_R d^4 x [\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\delta\partial_\mu\phi]+\int_{\partial R}d\sigma_\mu \mathcal{L}\epsilon^\mu$ donde la segunda integral proviene del cambio de variables

x \to x^{'}

$x\to x'$ . Así después de integrar por partes la primera integral obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange que dan cero y nos queda

\int_{\partial R} d σ_{m} [L ϵ^{m} - \frac{L}{\partial \partial_{m} ϕ} ϵ^{v} \partial_{v} ϕ (X)] = \int_{\partial R} d σ_{m} j^{m}

$\int_{\partial R}d\sigma_\mu [\mathcal{L}\epsilon^\mu-\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\epsilon^\nu\partial_\nu \phi(x)]=\int_{\partial R}d\sigma_\mu J^\mu$ dónde

J^{μ} = L ϵ^{μ} - \frac{L}{\partial \partial_{μ} ϕ} ϵ^{ν} \partial_{ν} ϕ (x)

$J^\mu=\mathcal{L}\epsilon^\mu-\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\epsilon^\nu\partial_\nu \phi(x)$ tiene que ser conservado imponiendo

δ S = 0

$\delta S=0$ . De

J

$J$ extraemos el tensor energía-estrés:

Θ^{m v} = \frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ} \partial^{v} ϕ - L η^{m v}

$\Theta^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\partial^\nu \phi-\mathcal{L}\eta^{\mu\nu}$ Entonces, todavía en notación QFT, lo que dice Tong es promover

ϵ

$\epsilon$ a una función de

x

$x$ de modo que la integral de superficie (usando el teorema de Stokes):

d S = \int_{R} d^{4} X \partial_{m} j^{m} = \int_{R} d^{4} X \partial_{m} (Θ^{m v} ϵ_{v}) = \int_{R} d^{4} X [\partial_{m} (Θ^{m v}) ϵ_{v} + Θ^{m v} \partial_{m} ϵ_{v}]

$\delta S=\int_Rd^4x \partial_\mu J^\mu=\int_Rd^4x \partial_\mu( \Theta^{\mu\nu}\epsilon_\nu)=\int_Rd^4x [\partial_\mu( \Theta^{\mu\nu})\epsilon_\nu+ \Theta^{\mu\nu}\partial_\mu\epsilon_\nu]$ pero esto no es exactamente lo mismo que la ec. 4.3.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/27048/2451 , physics.stackexchange.com/q/99853/2451 y enlaces allí.

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Truco para derivar el tensor de tensiones en cualquier teoría

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David Bar Moshé · Answer 1

El truco viene dado en la ecuación 4.4 del artículo adjunto:

Primero acoplar la teoría a la gravedad, (introduciendo un tensor métrico en la medida de integración y para cada elevación del índice) obteniendo la acción:

$S = \int_M d^4x \sqrt{-g} \mathcal{L}$

Luego varía la acción con respecto al tensor métrico:

$T_{\alpha\beta} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S}{\delta g^{\alpha\beta}}$

Luego reemplace el tensor métrico por uno plano para volver a la teoría original. El tensor de energía de tensión resultante se denomina tensor de energía de tensión de Belinfante - Rosenfeld.

El tensor tensión-energía de Belinfante - Rosenfeld no es igual al tensor tensión-energía canónico correspondiente a las traslaciones (derivadas del teorema de Noether), sino que se diferencia por la divergencia de un 3-tensor antisimétrico, por lo que se conservará siempre que el canónico se conserva

El 3-tensor es la corriente conservada canónica correspondiente a la simetría de Lorentz. Así, para campos sin espín, ambos tensores serán iguales.

El tensor tensión-energía de Belinfante - Rosenfeld suele considerarse mejor, ya que siempre es simétrico e invariante de calibre.

El razonamiento por el cual ambos métodos dan los mismos tensores de tensión-energía (“hasta una divergencia total) es el siguiente:

Cuando se covariantiza la teoría, se vuelve invariante bajo difeomorfismos. Así se desvanece la variación de la acción con respecto a los difeomorfismos. Ahora bien, esta variación se compone de la variación debida a los campos (materia) y la variación debida a la métrica. En el espacio plano la variación debida a los campos es la corriente canónica de Noether debida a las traslaciones, por lo que la variación con respecto a la métrica debería cancelar esta contribución. Por tanto si variamos respecto a la métrica, manteniendo los campos fijos, obtenemos la misma variación con signo contrario.

La sutileza de no obtener el mismo tensor esfuerzo-energía se explica en el siguiente artículo de: Gotay y Marsden. Este artículo contiene algunos ejemplos de la derivación del tensor tensión-energía simétrico (Belinfante - Rosenfeld). Consulte también el siguiente artículo de Forger y Romer para obtener más explicaciones y ejemplos.

MJ Gotay y JE Marsden, Tensores de tensión-energía-momento y la fórmula de Belinfante-Rosenfeld, Contemp. Matemáticas. 132 (1992) 367 .

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Prastt

qmecanico

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David Bar Moshé

qmecanico

¿El tensor tensión-energía es simétrico para una acción clásica que rompe explícitamente la simetría rotacional?

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