Transformación del tensor energía-momentum [cerrado]

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Transformación del tensor energía-momentum [cerrado]

Física
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tensión-energía-momentum-tensor

jane

He estado tratando de encontrar cómo cambia el tensor de energía-momentum si agregamos una derivada total al lagrangiano:
$\begin{matrix} (1) & L \to L + d_{m} X^{m} . \end{matrix}$ $L\to L+\mathrm d_\mu X^\mu.\tag{1}$

De la clave de respuesta:

\begin{matrix} (2) & T^{m v} \to T^{m v} + \partial_{λ} F^{λ m v} \end{matrix}

$T^{\mu\nu}\to T^{\mu\nu}+\partial_\lambda F^{\lambda\mu\nu}\tag{2}$ Dónde

\begin{matrix} (3) & F^{λ m v} = \frac{\partial X^{λ}}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial^{v} ϕ - \frac{\partial X^{m}}{\partial (\partial_{λ} ϕ)} \partial^{v} ϕ . \end{matrix}

$F^{\lambda\mu\nu}=\frac{\partial X^\lambda}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial^\nu\phi -\frac{\partial X^\mu}{\partial(\partial_\lambda\phi)}\partial^\nu\phi.\tag{3}$ ¿Es correcta la respuesta anterior? ¡No puedo obtener este resultado! ¿alguna ayuda?

qmecanico

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$\uparrow$ ¿Cuál libro?

jane

en realidad, mi amigo me dio este resultado. No puedo encontrarlo en ningún libro de texto.

Respuestas (1)

Transformación del tensor energía-momentum [cerrado]

en realidad, mi amigo me dio este resultado. No puedo encontrarlo en ningún libro de texto.

qmecanico · Answer 1

Supongamos que la densidad lagrangiana nueva y antigua
$\begin{matrix} (A) & L \to L + \sum_{m = 0}^{3} d_{m} X^{m} \end{matrix}$ ${\cal L} \quad\to\quad {\cal L} +\sum_{\mu=0}^3 d_{\mu} {\cal X}^{\mu}\tag{A}$ no depende explícitamente del punto del espacio-tiempo $x$ . Entonces, el primer teorema de Noether establece que la densidad del tensor canónico de tensión-energía-momento (SEM) $\begin{matrix} (B) & T^{m}_{v} := \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial_{v} ϕ - d_{v}^{m} L \end{matrix}$ ${\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~:=~ \frac{\partial{\cal L}}{\partial( \partial_{\mu}\phi)}\partial_{\nu}\phi- \delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}\tag{B}$ se conserva en la concha $\begin{matrix} (C) & d_{m} T^{m}_{v} \approx 0. \end{matrix}$ $d_{\mu}{\cal T}^{\mu}{}_{\nu}~\approx~0. \tag{C}$ (En esta respuesta usamos letras caligráficas para indicar densidades).
Tenga en cuenta que la fórmula de OP (3) sugiere que la densidad del vector ${\cal X}^{\mu}(\phi(x),\partial\phi(x))$ depende de las derivadas del espacio-tiempo $\partial\phi(x)$ en el campo $\phi(x)$ . Esto implicaría que la densidad lagrangiana (A) depende de derivadas espaciotemporales superiores $\partial^2\phi(x)$ . Esto, a su vez, va en contra de la tradición física común, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.
Supongamos, por simplicidad, que el vector densidad ${\cal X}^{\mu}(\phi(x))$ no depende de las derivadas del espacio-tiempo $\partial\phi(x)$ . Entonces
$\begin{matrix} (D) & d_{v} X^{m} = \frac{\partial X^{m} (ϕ)}{\partial ϕ} \partial_{v} ϕ . \end{matrix}$ $d_{\nu} {\cal X}^{\mu}~=~\frac{\partial {\cal X}^{\mu}(\phi)}{\partial\phi}\partial_{\nu}\phi.\tag{D}$ Y por lo tanto, la densidad del tensor canónico SEM (B) cambia como $\begin{matrix} (MI) & T^{m}_{v} \to T^{m}_{v} + d_{v} X^{m} - d_{v}^{m} d_{λ} X^{λ} = T^{m}_{v} + d_{λ} F^{λ m}_{v}, \end{matrix}$ ${\cal T}^{\mu}{}_{\nu}\quad\to\quad {\cal T}^{\mu}{}_{\nu}+ d_{\nu} {\cal X}^{\mu} -\delta^{\mu}_{\nu} d_{\lambda} {\cal X}^{\lambda} ~=~{\cal T}^{\mu}{}_{\nu}+d_{\lambda} {\cal F}^{\lambda\mu}{}_{\nu}, \tag{E}$ donde está el término de mejora $\begin{matrix} (F) & F^{λ m}_{v} = d_{v}^{λ} X^{m} - d_{v}^{m} X^{λ} = - F^{m λ}_{v} . \end{matrix}$ ${\cal F}^{\lambda\mu}{}_{\nu}~=~ \delta^{\lambda}_{\nu}{\cal X}^{\mu}-\delta^{\mu}_{\nu}{\cal X}^{\lambda}~=~ - {\cal F}^{\mu\lambda}{}_{\nu} \tag{F}.$
En particular, la densidad de energía
$\begin{matrix} (GRAMO) & T^{0}_{0} \to T^{0}_{0} - \sum_{i = 1}^{3} d_{i} X^{i} \end{matrix}$ ${\cal T}^0{}_0\quad\to\quad {\cal T}^0{}_0 - \sum_{i=1}^3 d_i {\cal X}^i \tag{G}$ cambia con una 3-divergencia espacial, de modo que la energía $\begin{matrix} (H) & mi = \pm \int_{V} d^{3} X T^{0}_{0} \end{matrix}$ ${\cal E} ~=~\pm \int_V \! d^3x ~ {\cal T}^0{}_0 \tag{H}$ no cambia en circunstancias normales por el teorema de la divergencia. Aquí hemos utilizado la convención de signos de Minkowski $(\pm,\mp,\mp,\mp)$ .

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