¿Cómo puedes probar que una matriz tiene los mismos valores propios que su transpuesta sin usar determinantes?

Los valores propios de$M$son los numeros$\lambda$tal que$M - \lambda I$tiene núcleo no trivial, es decir, los números para los cuales la matriz cuadrada$M-\lambda I$no se puede invertir. Pero

y así si$M - \lambda I$no es invertible,$(M-\lambda I)^T$tampoco es invertible, ya que una matriz cuadrada es invertible si y solo si su transpuesta lo es (¡gracias a Marc por las sugerencias!). Pero lo anterior demuestra que$\lambda$es también un valor propio para$M^T$, como queríamos mostrar.

Los valores propios de una matriz cuadrada$A$son las raíces de su polinomio mínimo. Como para cualquier polinomio$P\in K[X]$la matriz$P[A^\top]$es la transposición de$P[A]$, y uno de estos es cero si y solo si el otro lo es, las matrices$A$y su traspuesta$A^\top$tienen los mismos polinomios mínimos. Por lo tanto, tienen los mismos valores propios.

O incluso más simple,$\lambda$es un valor propio de$A$si y solo si$A-\lambda I$no es invertible, lo que sucede si y solo si transpone$A^\top-\lambda I$no es invertible (porque claramente si alguna matriz cuadrada$M$tiene una inversa, la transpuesta de esa inversa será una inversa de$M^\top$, y viceversa).