Usando −g−−−√−g\sqrt{-g} en integrales de volumen propio

El elemento/medida de volumen invariante coordinado en una variedad con métrica$g$es

$$d^d x \sqrt{|g|}$$ Por invariancia de coordenadas, quiero decir que si elijo trabajar en un sistema de coordenadas diferente $x'$, entonces tanto el determinante métrico cambia como la medida $d^dx$. Pero cambian de una manera que se anulan entre sí. En otras palabras $$d^d x' \sqrt{g'} = d^d x \sqrt{g}$$ En relatividad general, toda cantidad física debe ser invariante de coordenadas. Por lo tanto, es conveniente trabajar con cantidades invariantes coordinadas, incluso en pasos intermedios para que podamos estar seguros de que nuestro resultado final es invariante de difeomorfismo.

el factor de$\sqrt{|g|}$proviene del hecho de que la forma del volumen es (hasta una normalización)

$$\varepsilon_{\mu_1 \cdots \mu_d} = \sqrt{|g|} {\tilde \varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_d} ~.$$ dónde ${\tilde \varepsilon}_{\mu_1 \cdots \mu_d}$es una forma completamente antisimétrica con $${\tilde \varepsilon}_{012\cdots(d-1)} = +1$$ Se puede demostrar claramente que sólo con el factor de $\sqrt{|g|}$arriba está la cantidad $\varepsilon_{\mu_1 \cdots \mu_d}$un tensor

Prahar tiene razón, pero aquí hay dos cosas más a tener en cuenta.

Si el espacio-tiempo es un$n$variedad lorentziana bidimensional$(M,g)$, dejar$\{E_1,\dotsc, E_n\}$ser un marco ortonormal, es decir$E_i\in\Gamma(TM), T_pM=\mathrm{span}\,\{E_i\lvert_p\}$, y$g(E_i,E_j)=\eta_{ij}$, dónde$\eta=\mathrm{diag}\,(-1,1,\dotsc, 1)$es la matriz de Minkowski. Entonces sí$M$es orientable (elija una orientación) y el marco está orientado consistentemente, hay una única$n$-forma$\omega$tal que$\omega(E_1,\dotsc, E_n)=1$dondequiera que se defina el marco. Si$\{x^i\}$son coordenadas en un gráfico orientadas consistentemente con el marco, entonces$\omega=\sqrt{\rvert g\lvert}\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n$en el dominio de la carta. Para ver una demostración, consulte Introducción a las variedades suaves de Lee . Entonces podemos usar esta forma como una medida en$M$, y puede definir la integral de una función por$\int_Uf:=\int_Uf\omega$dónde$U\subset M$es$n$-dimensional.

También podemos definir un$C^\infty(M)$-isomorfismo lineal entre los módulos de$p$-formas y$(n-p)$-formas llamadas el dual de Hodge ($\star$), con algunas propiedades especiales. En particular,$\star:C^\infty (M)\to \Omega^n(M)$define una medida de volumen si$M$es orientable por$\star (1)$. Uno puede demostrar que$\star(1)=\omega$(desde arriba). Para una demostración, consulte Geometría riemanniana y análisis geométrico de Jost. De este modo$\int_Uf:=\int_U\star f=\int_Uf\star(1)=\int_Uf\omega$es también una integral viable.