Transición de la mecánica cuántica a la clásica

La heurística que compara la acción$S$a la constante de Planck es vagamente útil como criterio inicial, pero el límite de la mecánica cuántica a la clásica es bastante más sutil, en formas que hacen que la comparación simplista sea casi inútil en la práctica.

Como un par de contraejemplos:

• Si prepara un oscilador armónico en un estado coherente , en la práctica será indistinguible de algo que podría modelar como un oscilador armónico clásico con algún ruido de disparo agregado , y esto sucede independientemente del número medio de estados de excitación o de la relación$S/h$.

• Por otro lado, es tecnológicamente desafiante pero en principio posible preparar un$n$-Estado de Fock de fotones con un número de fotones arbitrariamente alto pero bien definido$n$, y esto exhibirá claramente un comportamiento cuántico incluso para arbitrariamente grandes$S/h$.

Por lo tanto, el límite de la mecánica cuántica a la clásica debe hacerse con más cuidado, y una simple heurística nunca será suficiente más allá de servir como un calificador difuso.

En el formalismo integral de la ruta de Feynman, que es el contexto de su pregunta tal como lo entiendo, el dominio clásico se recupera para$S \gg \hbar$. Si$S$es lo contrario del orden de$\hbar$, entonces el sistema exhibirá comportamientos cuánticos de un tipo u otro, sin importar si$S \ge \hbar$o$S \le \hbar$. Ahora bien, como dijeron correctamente @Countto10 y @Emilio Pisanty, el diablo está en los detalles y esta declaración mía está llena de advertencias. Pero supongo que solo querías la esencia.

Hay dos maneras diferentes en las que se puede hacer esta pregunta :

1) SISTEMA AISLADO : si está preguntando acerca de un sistema aislado, recuerde que las ecuaciones clásicas de movimiento se obtienen minimizando la acción. Si$S>> \hbar$entonces la aproximación del punto silla a la integral de trayectoria

es una buena aproximación ya que las fluctuaciones alrededor de la trayectoria clásica se cancelan. Esto implica que todos los correladores alcanzarán su punto máximo alrededor de sus valores clásicos.

Permítanme dar un ejemplo trivial. Suponga que está interesado en la amplitud de transición de$x_0$en el momento$t_0$a$x_1$en$t_1$. Esto es dado por

Usando el hamiltoniano para una partícula libre obtenemos

Al ser una integral gaussiana, es trivial de resolver, pero resolverlo anulará el propósito. Lo que queremos observar es que si$\delta x,\delta t \gg 1$($\hbar$en unidades naturales) podemos aproximar la integral por el valor en el punto silla$p= m \frac{\delta x}{\delta t}$. Reconocerá esto como la definición clásica de impulso.

Este método a menudo se llama 'suma sobre todos los caminos', pero los diferentes caminos vienen solo porque los estados inicial y final no son estados propios del hamiltoniano. Por ejemplo, si uno fuera a tomar un oscilador armónico en el$n^{th}$estado que obtendríamos

es decir, a menos que el estado final sea exactamente el mismo que el inicial, la amplitud es 0. También se puede iniciar el oscilador armónico en un estado propio de posición o estado coherente y ver cómo conduce a la suma de todos los caminos y también se puede jugar con por qué el la evolución de un estado coherente parece seguir un camino clásico incluso cuando$S\sim \hbar$como se menciona en otra respuesta anterior.

2) SISTEMA ABIERTO : si está interesado en un sistema abierto, la decoherencia de la interacción con el entorno coloca al sistema en un estado impuro o matriz de densidad donde la matriz de densidad es diagonal en la llamada base de puntero (superselección ambiental ) . Para "objetos clásicos" lo suficientemente grandes, esta base suele ser la posición y para "objetos cuánticos" lo suficientemente pequeños, esta base suele ser la energía. Sin embargo, en un entorno de laboratorio, esta decoherencia se puede controlar ajustando la interacción con el entorno para que sea otra cosa. Por ejemplo, un ejemplo muy trivial es hacer que el puntero siga la trayectoria de arriba hacia abajo o de izquierda a derecha de un haz de electrones girando el aparato de Stern-Gerlach. [ref: http://www.springer.com/gp/book/9783540357735]