Traducir una coordenada xy de un punto del sistema de coordenadas local al sistema de coordenadas global

Llevar$x,y$las coordenadas globales,$x^\prime,y^\prime$las coordenadas locales,$(h,k)$las coordenadas globales del origen del sistema local, y$\varphi$el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj desde la horizontal del sistema global ($x$) al "horizontal" del sistema local ($x^\prime$).

Entonces, ¿qué se necesita para convertir de$(x^\prime,y^\prime)$a$(x,y)$es 1. desplazar el origen; y 2. rotar por$\varphi$agujas del reloj. Esta secuencia se expresa más fácilmente en notación matriz-vector:

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\,\varphi&\sin\,\varphi\\-\sin\,\varphi&\cos\,\varphi\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}\right)$$

o explícitamente,

$$\begin{align*}x&=(x^\prime-h)\cos\,\varphi+(y^\prime-k)\sin\,\varphi\\y&=-(x^\prime-h)\sin\,\varphi+(y^\prime-k)\cos\,\varphi\end{align*}$$