¿Cuál es el papel de las ecuaciones clásicas de movimiento en la derivación de la corriente de Noether?

Estoy tratando de entender una declaración muy fundamental del libro: Teoría del campo de materia condensada de A.Altland y B.Simons:

Supongamos que tenemos una transformación:

$$x^\mu \to (x^{\prime})^{\mu} = x^\mu + f^\mu_a \omega^a(x)$$ y $$\phi^i(x)\to (\phi^{\prime})^i =\phi^i(x) + F^i_a \omega^a(x)$$

entonces podemos calcular la diferencia de acción

$$\Delta S = \int_V d^m x^\prime \mathcal{L}(\phi^\prime(x^\prime),\partial_{x^\prime} \phi^\prime(x^\prime))-\int_V d^m x \mathcal{L}(\phi (x),\partial_x \phi (x))$$

donde podemos expresar todo en términos de$x$utilizando las fórmulas de transformación y el determinante de Jacobi. Hasta ahora, todo bien. Ahora viene la primera afirmación:

(1) "Hasta ahora, no usamos el hecho de que la transformación en realidad pretendía ser una transformación de simetría. Por definición, estamos tratando con una simetría si para un parámetro constante$\omega^a$(por ejemplo, una rotación uniforme o una traslación global, etc.) la diferencia de acción se desvanece".

Sí, lo entiendo.

(2) "En otras palabras, la contribución principal a la diferencia de acción debe ser lineal en las derivadas$\partial_{x^\mu} \omega^a$"

De acuerdo con esta respuesta a la pregunta de Phys.SE En un truco para derivar la corriente de Noether, simplemente agregamos artificialmente un$x$dependencia en el parámetro de variación. Entonces supongamos que tendríamos una simetría entonces

$$\Delta S \overset{!}{=} 0 = \int_V [...]_1 \omega^a + j^\mu_a \partial_\mu \omega ^a \overset{\omega^a \text{is constant}}{=} \omega^a \int_V [...]_1=0 \to [...]_1=\partial_\mu k^\mu_a$$

Esta expresión para$[...]_1$podemos reemplazar en la fórmula para$[...]_1$e integrar por partes una vez para obtener$\Delta S = \int_V J^\mu_a \partial_\mu \omega^a$donde suponemos que la variación en la frontera$\partial V$desaparece y$J^\mu_a=j^\mu_a-k^\mu_a$. Después de expandir la diferencia de acción en la derivada de$\omega$identificamos la corriente de Noether.

Ahora viene la parte complicada:

(3) "Para una configuración de campo general, no hay mucho que decir sobre la corriente de Noether. Sin embargo, si el campo$\phi$obedece a las ecuaciones clásicas de movimiento y la teoría es simétrica, la corriente de Noether se conserva localmente,$\partial_\mu J^\mu_a=0$. Esto se sigue del hecho, para una solución$\phi$de la ecuación de Euler Lagrange, la variación lineal en cualquier parámetro debe desaparecer".

¿Es correcto que solo quieren decir que al integrar por partes llegamos a$\Delta S = -\int_V d^m x \partial_\mu J^\mu_a \omega_a$. Entonces usamos eso$\phi$se conserva clásicamente, lo que significa que cualquier variación lineal se desvanece?

Es decir$\partial_\mu J\mu_a =0$que es la ecuación de continuidad.

Así que la única diferencia entre la condición de simetría y la condición de que$\phi$obedece a la ecuación de movimiento es que

• Transformación de simetría$\to \Delta S \sim 0$términos de límite de módulo

• $\phi$obedece a la ecuación de movimiento$\to \Delta S = 0$ya que todas las variaciones lineales se desvanecen

¿Es eso correcto?