Transformaciones de Lorentz para espinores

El teorema más famoso de Wigner establece que, en un espacio complejo de Hilbert$H$, cada aplicación biyectiva que envía rayos en rayos (un rayo es un vector unitario hasta una fase) y conserva las probabilidades de transición se representa (hasta una fase) por un unitario o antiunitario (según el mapa inicial si$\dim H>1$) mapa en$H$.

Tratando con espinores$\Psi \in \mathbb C^4$,$H= \mathbb C^4$y no hay producto espacial de Hilbert (forma sesquilineal positiva) tal que las probabilidades de transición se conserven bajo la acción de$S(\Lambda)$, por lo que el teorema de Wigner no entra en juego.

Es más$S$trata con un espacio de Hilbert de dimensión finita$\mathbb C^4$y es posible probar que en espacios de Hilbert de dimensión finita no existe una representación unitaria no trivial para un grupo de Lie semisimple conexo no compacto que no incluye subgrupos normales cerrados no triviales propios. El grupo ortocrónico propio de Lorentz tiene esta propiedad. Un argumento fácil extiende el resultado negativo a su cobertura universal$SL(2, \mathbb C)$.

Representaciones unitarias no triviales de$SL(2,\mathbb C)$son necesariamente de dimensión infinita. Uno de los casos más elementales es el descrito por el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb R^3, dk)\otimes \mathbb C^4$donde el factor de dimensión infinita$L^2(\mathbb R^3, dk)$aparece.

Esta representación es el bloque de construcción para construir otras representaciones y, en particular, el espacio de Fock del campo cuántico de Dirac.

Este es un error común.

grupo lorentz$SO(3,1)$(o su doble cubierta$SL(2,\mathbb{C})$si desea seguir el análisis de simetrías de Wigner en QM) no es compacto . Esto significa que no tiene representaciones unitarias de dimensión finita (la imposibilidad de elegir elementos básicos hermitianos de Clifford es solo una consecuencia de esto).

Cuando estás construyendo espinores de Dirac clásicos, no necesitas unitaridad. De hecho, no hay necesidad de$S(\Lambda)$ser una representación unitaria. Estamos tratando con un campo clásico aquí, y la unitaridad no se requiere en la física clásica.

En QFT estamos tratando con un campo cuántico de Dirac. El espacio de estado (espacio de Fock fermiónico) de la QFT libre es unitario y de dimensión infinita . Esto no contradice la afirmación original precisamente por la dimensionalidad infinita.

Wigner hizo la clasificación de los irreps unitarios de dimensión infinita del grupo de Poincaré (grupo de Lorentz no homogéneo si lo desea). Utiliza la teoría de representación no unitaria de dimensión finita de$SL(2,\mathbb{C})$(que es equivalente a la teoría de representación de dimensión finita del álgebra de Lie complejizada$\mathfrak{so}(4)\sim\mathfrak{D}_2$) pesadamente.

Resumiendo: la diferencia es que los generadores de Poincaré de la QFT actúan unitariamente sobre el espacio de Fock de dimensión infinita. La transformación clásica del campo espinoso es respetada por esta acción, pero no tiene por qué ser ni es unitaria.