Transformaciones de Lorentz para coordenadas polares o marco inercial en coordenadas polares

¿Las coordenadas polares definen un marco inercial o no?

En todas partes de GR, los autores de todos los libros hablan de llevar la métrica a diag(-1, 1,1,1) lo que mostraría que existe un marco inercial local en cada punto de la variedad. Y la coordenada en este marco local sería ( t , X , y , z ) .

Pero las coordenadas polares no pueden definir un marco inercial. ¿No se puede llevar la métrica a

d i a gramo ( − 1 , 1 , r 2 , r 2 pecado 2 ⁡ ( θ ) )
en cada punto Y el marco adjunto al punto sigue siendo inercial, pero solo las coordenadas utilizadas serán esféricas en lugar de cartesianas. Esto esta mal.

De hecho, los libros comienzan a constreñir marcos inerciales utilizando barras perpendiculares y estas coordenadas cartesianas. ¿No podemos construir un marco inercial usando coordenadas polares?

Editar-después de una respuesta

Las Transformaciones de Lorentz son transformaciones entre diferentes marcos. ¿Se llamará una transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares una transformación de Lorentz o simplemente una transformación de coordenadas? Ahora he leído que las transformaciones de Lorentz son lineales . Transformación de cartesiano a polar o de ( r , θ , ϕ ) − > ( r ′ , θ ′ , ϕ ′ ) sería no lineal .

Así serán Lorentz Transformation.

Respuestas (2)

¿No podemos construir un marco inercial usando coordenadas polares?

Sí, las coordenadas polares se pueden usar como coordenadas para un marco inercial. Por ejemplo, cuando resolvemos el problema gravitatorio de dos cuerpos en la mecánica newtoniana, normalmente usamos coordenadas polares para escribir F = metro a . Las ecuaciones toman entonces una forma más agradable que en los componentes cartesianos. El simple uso de coordenadas polares en un marco no giratorio no introduce fuerzas no inerciales, como sucede cuando se considera un marco giratorio.

Los cursos de relatividad especial normalmente restringen su discusión de las transformaciones de Lorentz a las coordenadas cartesianas por simplicidad; uno está principalmente interesado en lo que sucede en la dirección del movimiento relativo entre los dos marcos y perpendicular a él, por lo que las coordenadas cartesianas son naturales, especialmente cuando se toma uno de los ejes cartesianos a lo largo de la velocidad relativa. Pero la geometría del espacio-tiempo de Minkowski es la misma independientemente de si su métrica está escrita en coordenadas cartesianas, coordenadas polares esféricas o cualquier otra coordenada que describa un espacio-tiempo plano.

Para obtener detalles sobre la transformación de Lorentz en coordenadas cilíndricas y esféricas, consulte este documento .

Gracias entendí la mayor parte. Solo 2 problemas pequeños: 1) Eso significa que en GR podríamos decir de manera equivalente que si la métrica en cada punto se puede reducir a $diag(-1, 1,r^2, r^\sin^2\theta), entonces estaría teniendo Marcos Inerciales Locales en cada punto, solo que sus coordenadas estarían escritas en coordenadas esféricas. ¿Sería eso técnicamente correcto? Hágame saber esto, he visto las Transformaciones de Lorentz en coordenadas polares esféricas en el documento que vinculó y creo que lo que dije anteriormente debería ser correcto. Confirma amablemente.
Estoy de acuerdo. Sin embargo, incluso en un espacio-tiempo curvo, existe un marco inercial local en una vecindad suficientemente pequeña de cada punto.
En segundo lugar - 2a) Las Transformaciones de Lorentz son transformaciones entre diferentes marcos. ¿Se llamará una transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares una transformación de Lorentz o simplemente una transformación de coordenadas? 2b) Ahora he leído que las transformaciones de Lorentz son lineales . Transformación de cartesiano a polar o de ( r , θ , ϕ ) − > ( r ′ , θ ′ , ϕ ′ ) sería no lineal . Así serán Lorentz Transformation. Amablemente hágamelo saber esto también. También lo agregó en la edición de la pregunta para su referencia. Gracias
sí, lo sé, solo quería describir esa coordenada en términos de coordenadas polares en lugar de cartesianas, como hacen los libros.
edición añadida. Will polar to polar' no será no lineal y, por lo tanto, no calificará como transformación de Lorentz, que debe ser lineal . También entonces la respuesta de Charlie es incorrecta, correcta.
Hay una variedad de formas de definir una "transformación de Lorentz". No vale la pena discutir sobre la semántica. Los aumentos de Lorentz (como lo que generalmente se llama una transformación de Lorentz en las introducciones a SR) implican un movimiento relativo entre los fotogramas. La simple transformación de cartesiano a esférico no introduce movimiento relativo.
Entonces, eso significa que las transformaciones de Lorentz no tienen por qué ser siempre transformaciones lineales , pueden ser NO lineales, así como cartesianas a polares o polares a polares. Es eso correcto. Pregunto esto porque Caroll dice que las transformaciones de Lorentz son lineales, así que pensé que siempre serían lineales, no solo para impulsos y rotaciones . ¿Se les permite ser no lineales también?
Si define con precisión qué es una transformación de Lorentz, entonces podría decir si, según esa definición, deben ser lineales. Si los define como transformaciones de coordenadas que no cambian el valor numérico del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos, entonces incluyen transformaciones no lineales como cartesianas a polares sin movimiento relativo. El intervalo de espacio-tiempo parece bastante diferente en términos de las diferentes coordenadas, pero si dos eventos son similares al tiempo separados por dos segundos, esto es cierto ya sea que las coordenadas de esos eventos sean cartesianas o polares.
Estas respuestas aquí dicen que las transformaciones de conservación de intervalos/las transformaciones de Lorentz deben ser lineales physics.stackexchange.com/q/12664 y physics.stackexchange.com/q/155363 (la respuesta de Selena Routley) y physics.stackexchange.com/q/ 272786/113699 (especialmente el comentario de Knzhou sobre la respuesta de A Hussain donde también dice que debemos hacer SR en coordenadas cartesianas y no en coordenadas polares). ¿Por qué difieren de lo que dices?
En realidad, la respuesta de Void aquí physics.stackexchange.com/q/132499 dice que las transformaciones de Lorentz deben ser homogéneas y no lineales. ¿Las respuestas en los comentarios anteriores realmente difieren de usted ? ¿Podría darme algunas ideas aquí? Creo que me he topado con un tema muy sutil y un punto muy importante, supongo. ¿Debería hacer una nueva pregunta si sugieres?
Ha hecho dos preguntas que considero conceptualmente distintas: una sobre marcos inerciales y coordenadas polares, y la otra sobre transformaciones de Lorentz y coordenadas polares. Como se supone que solo debe hacer una pregunta por publicación, elegí responder la de marcos inerciales. Le recomiendo que publique una nueva pregunta sobre LT y coordenadas polares.
Seguro que he hecho una nueva pregunta para esto. Esperaré una respuesta sensata. Si desea escribir sus puntos de vista aquí está: physics.stackexchange.com/q/603250/113699 gracias
Hay una pequeña inconsistencia. Dijiste que solo introducir coordenadas polares en el marco inercial no introduce ninguna fuerza ficticia. Pero los símbolos de Christoffel no son cero en coordenadas polares y los símbolos de Christoffel se entienden como fuerzas ficticias. Así que hay un poco de contradicción. Usted dice que no hay fuerzas ficticias en coordenadas polares pero, por otro lado, los símbolos de Christoffel que no desaparecen se interpretan como fuerzas ficticias. Entonces, ¿qué es lo correcto? ¿Existen fuerzas ficticias en el caso que estamos considerando o no? ¿Es realmente inercial?

Las coordenadas polares no son coordenadas inerciales. Solo son coordenadas inerciales aquellos sistemas de coordenadas a los que se puede llegar desde un sistema de coordenadas inercial por la acción del grupo de Poincaré (cabe señalar que las transformaciones de Lorentz son un caso especial de las transformaciones de Poincaré que conservan el origen).

Si desea trabajar en coordenadas polares, debe tener cuidado ya que los objetos que son covariantes de Lorentz no son necesariamente covariantes de difeomorfismo , que es la noción apropiada de covarianza en la relatividad general . Dicho esto, no hay problema para trabajar en coordenadas polares en el espacio de Minkowski, solo debe tener cuidado ya que no se encuentra en un sistema de coordenadas inercial y, por lo tanto, es posible que algunas suposiciones no se cumplan.

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