Transformación infinitesimal

Si queremos "extraer el grupo de su representación", entonces necesitamos conocer completamente la estructura del grupo, es decir, cómo los elementos del grupo se relacionan entre sí a través de la multiplicación del grupo. Una forma de hacer esto es construir la tabla de multiplicar del grupo, que muestra explícitamente todas las posibles multiplicaciones entre elementos (en otras palabras, define el grupo). Sin embargo, el grupo continuo o, más específicamente, los grupos de mentira (como el grupo de Poincaré) tienen elementos infinitos y, por lo tanto, dicha tabla de multiplicar está fuera de discusión. Sin embargo, queremos poder describir la estructura del grupo sin mencionar ninguna representación. Lo que hacemos es mirar los generadores de grupos y su álgebra de Lie .

El álgebra satisfecha por los generadores del grupo consiste en un conjunto de relaciones algebraicas independientes de la representación y que definen casi por completo al grupo. La forma en que obtenemos los generadores es observando la transformación de grupo infinitesimal. Por definición, los grupos de Lie son variedades diferenciables , por lo que podemos encontrar transformaciones infinitesimales de Taylor que se expanden alrededor del elemento identidad y definimos el generador$T_a$asociado al parámetro$\theta_a$como

$$g(\delta\theta_a)=e+i\delta\theta_a T_a,\quad\mathrm{no\, sum},$$ dónde $e$es la identidad. Dije que el Álgebra de Lie (o equivalentemente la estructura local de un Grupo de Lie) determina casi completamente el grupo porque la misma Álgebra de Lie está en general asociada a más de un grupo. Por ejemplo, ambos grupos $SU(2)$y $SO(3)$tener la misma álgebra $\mathfrak{su}(2)$. Para asociar el álgebra con un grupo en particular también necesitamos especificar la representación, que es la misma para el álgebra y el grupo.