Consistencia de transformación de campos escalares con definición matemática de una representación de álgebra de Lie y grupo de Lie

Question

Consistencia de transformación de campos escalares con definición matemática de una representación de álgebra de Lie y grupo de Lie

Física
mentira-álgebra
teoría de campo
teoría de grupos
teoría cuántica de campos
teoría de la representación

elhombrecuantico

Las transformaciones de campos escalares bajo una transformación de grupo de Lorentz son generadas por operadores diferenciales $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ .

Por otro lado, una representación de un grupo de Lie $G$ y el álgebra se define como un homomorfismo $\pi: g\in G \rightarrow \pi(g)\in GL(n,\mathbb{C})$ y $\psi: X\in \mathbb{g} \rightarrow \psi(X)\in \mathbb{gl}(n,\mathbb{C} )$ , dónde $GL(n,\mathbb{C})$ denota el grupo de matriz lineal general de $n\times n$ matrices invertibles complejas y $\mathbb{gl}(n,\mathbb{C})$ es su álgebra de mentira y $G$ es el grupo en cuestión con $\mathbb{g}$ siendo su álgebra de Lie.

Entonces, ¿cómo se pueden representar los generadores de un álgebra de Lie mediante operadores diferenciales si las representaciones de álgebras de Lie tienen la definición anterior (es decir, asignaciones al álgebra de Lie correspondiente al grupo de $n\times n$ matrices invertibles)?

EDITAR: La primera parte se inspiró en lo siguiente (de Freedman y Van Proyen's Supergravity, p.14):

una mente curiosa

"Las transformaciones de campos escalares bajo transformaciones de coordenadas generales son generadas por operadores diferenciales $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ ." - ¿Qué quieres decir con esto? ¿Dónde lo has escuchado? (La afirmación es incorrecta: El grupo de difeomorfismos (

≅

$\cong$ "transformación general de coordenadas") es en general de dimensión infinita, pero el álgebra de

L_{μ ν}

$L_{\mu\nu}$ es claramente de dimensión finita)

elhombrecuantico

@ACuriousMind Gracias por el comentario. fue un error Edité la pregunta ahora.

una mente curiosa

Está bien. Entonces, ¿cuál es exactamente tu pregunta? Los operadores diferenciales

L_{μ ν}

$L_{\mu\nu}$ son operadores lineales sobre el espacio vectorial de campos escalares. Por lo tanto, constituyen una representación (de dimensión infinita) del grupo de Lorentz. es tu problema que

n

$n$ no es finito aquí?

elhombrecuantico

@ACuriousMind Sí, creo que sí. Una representación debe ser un elemento del grupo lineal general, por lo que no puedo ver exactamente cómo un operador diferencial se ajusta a esta descripción, aunque ahora sospecho que la respuesta podría ser trivial.

una mente curiosa

Si observa, por ejemplo, la definición de Wikipedia de una representación de grupo, no hay ningún requisito de que el espacio vectorial sea de dimensión finita.

Respuestas (1)

Consistencia de transformación de campos escalares con definición matemática de una representación de álgebra de Lie y grupo de Lie

"Las transformaciones de campos escalares bajo transformaciones de coordenadas generales son generadas por operadores diferenciales $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ ." - ¿Qué quieres decir con esto? ¿Dónde lo has escuchado? (La afirmación es incorrecta: El grupo de difeomorfismos ( $\cong$ "transformación general de coordenadas") es en general de dimensión infinita, pero el álgebra de $L_{\mu\nu}$ es claramente de dimensión finita)
@ACuriousMind Gracias por el comentario. fue un error Edité la pregunta ahora.
Está bien. Entonces, ¿cuál es exactamente tu pregunta? Los operadores diferenciales $L_{\mu\nu}$ son operadores lineales sobre el espacio vectorial de campos escalares. Por lo tanto, constituyen una representación (de dimensión infinita) del grupo de Lorentz. es tu problema que $n$ no es finito aquí?
@ACuriousMind Sí, creo que sí. Una representación debe ser un elemento del grupo lineal general, por lo que no puedo ver exactamente cómo un operador diferencial se ajusta a esta descripción, aunque ahora sospecho que la respuesta podría ser trivial.
Si observa, por ejemplo, la definición de Wikipedia de una representación de grupo, no hay ningún requisito de que el espacio vectorial sea de dimensión finita.

j murray · Answer 1

Esa no es la definición de una representación de un grupo de Lie, es la definición de una representación de dimensión finita de un grupo de Lie.

Más generalmente, una representación en un espacio vectorial $V$ es un homomorfismo de grupo $\pi:g\in G\mapsto \pi(g)\in\operatorname{Aut}(V)$ , dónde $\operatorname{Aut}(V)$ es el conjunto de automorfismos en $V$ . Si $V$ es de dimensión finita, entonces $\operatorname{Aut}(V)\simeq GL(n,\mathbb R)$ o $GL(n,\mathbb C)$ , pero $V$ no necesita ser de dimensión finita, como es el caso aquí.

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j murray

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