Transformación de Weyl de la ecuación de Dirac

Su segunda ecuación sigue siendo la ecuación de Dirac en la base quiral (Weyl) de las matrices gamma, que uniformiza$\gamma^0$con$\gamma^k$, y es diagonal en quiralidad,$\gamma^5$,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -\mathbb{1} & 0 \\ 0 & \mathbb{1} \end{pmatrix},$$ y todo lo que tienes que hacer es conectar las matrices gamma.

Supongo que entonces quieres ir a esta base de Weyl desde la base de Dirac convencional,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \mathbb{1} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1} \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix}.$$

La transformada de similitud unitaria de la base de Dirac

$$\gamma_W^\mu=U^\dagger \gamma_D^\mu U, \qquad U=(1-\gamma_D^5 \gamma_D^0)/\sqrt{2}= \frac{1}{ \sqrt{2}}\begin{pmatrix}\mathbb{1} &\mathbb{1}\\ -\mathbb{1} & \mathbb{1}\end{pmatrix}$$
hace el truco, como fue diseñado, $$U^\dagger\left(i\gamma_D^\mu\partial_\mu- \frac{mc}{\hbar}\right)U ~ U^\dagger\Psi_D = 0,$$ proporcionando la ecuación desacoplada quiralmente en la base de Weyl (su vector 2-2) que anotó explícitamente.

• Tenga en cuenta que me atengo a las convenciones P&S, WP, izquierda arriba-derecha-abajo. Es costumbre perder 10 minutos comparando textos traduciendo convenciones... Una parte del curso. Tong, Itzykson & Zuber (apéndice A-2), etc., difieren.