Solución de la ecuación de Dirac - espinores de cuatro componentes - zurdos/diestros en el límite ultrarrelativista

Question

Solución de la ecuación de Dirac - espinores de cuatro componentes - zurdos/diestros en el límite ultrarrelativista

Física
espinores
quiralidad
ecuación de dirac

a20

Estoy confundido acerca de la solución a la ecuación de Dirac y cómo corresponde a los espinores de Weyl zurdos/diestros. En Srednicki, página 242, se afirma que tomando el límite ultrarrelativista ( $|\bar{p}|>>m$ ), proyecta las soluciones de la ecuación de Dirac a espinores puramente zurdos o diestros.

De la ecuación de Dirac:

({pag}_{m} γ^{m} + metro) {tu}_{s} (\bar{pag}) = 0

$(p_\mu \gamma^\mu + m)u_s(\bar{p})=0$

obtenemos las soluciones (para simplificar, configuro p_x=p_y=0):

{tu}_{+} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \frac{{pag}_{z}}{mi + metro} \\ 0 \end{matrix}), {tu}_{-} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{{pag}_{z}}{mi + metro} \end{matrix})

$u_+ = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \frac{p_z}{E+m} \\ 0 \end{pmatrix} , ~~u_- = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{p_z}{E+m} \end{pmatrix}$

Ahora, desde $E=\pm \sqrt{p_z^2+m^2}$ , el límite donde $p_z >> m$ debe dar:

{tu}_{+} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), {tu}_{-} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$u_+ = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , ~~u_- = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

pero no entiendo cómo estas dos soluciones son puramente zurdas o diestras.

En Srednicki, lo mostró usando $u_s(\bar{p})\bar{u}_s(\bar{p})\rightarrow \frac{1}{2}(1+s\gamma_5)(-\gamma^\mu p_\mu)$ , pero ¿no debería ser posible mostrar lo mismo yendo directamente de las dos soluciones?

Respuestas (1)

Solución de la ecuación de Dirac - espinores de cuatro componentes - zurdos/diestros en el límite ultrarrelativista

vin92 · Answer 1

Debe especificar en qué representación de las matrices gamma está trabajando. En su caso es la representación de Dirac. También observe que le falta un signo menos en $u_-$ que viene de $p_z$ .

$u_-= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\ \end{pmatrix}$

Para mostrar que son diestros o zurdos, tenga en cuenta que son vectores propios de la $\gamma^5$ operador, que en la base de Dirac se parece a:

$\gamma^5=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$

Entonces puedes probar fácilmente $\gamma^5 u_+=u_+$ y $\gamma^5 u_-=-u_-$ que da cuenta de las dos quiralidades.

Gracias, y perdón por mis preguntas estúpidas..., pero ¿por qué significa que es para zurdos/diestros si $\gamma^5u_\pm=\pm u_\pm$ sostiene? Tal vez mi confusión sea más bien, ¿por qué necesitamos un límite ultrarrelativista para proyectar estos espinores a los campos de Weyl de mano izquierda o derecha? Si usamos el operador de proyección, por ejemplo $1/2(1+\gamma_5)$ , solo dará el campo de Weyl diestro, sin importar lo que proyectemos. Sin embargo, claramente el 1 en la fila superior en $u_+$ se proyectaría al campo de Weyl zurdo en su lugar, si usamos el operador correspondiente, por lo que no es $u_+$ más bien una mezcla de izquierda/derecha?
No lo lamentes, pero no puedo ayudarte demasiado ya que lo que preguntas es demasiado largo para explicarlo en un comentario. Sin embargo, para la primera pregunta, recordar los conceptos básicos de la mecánica cuántica puede ayudar a interpretar la propiedad. Le recomiendo que investigue un poco sobre la diferencia de quiralidad/helicidad y por qué para las partículas sin masa son iguales.

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