Transformación de los índices de espinor de matrices hermitianas 2 × 22 × 22 \ veces 2 bajo el grupo de Lorentz

Aquí hay algunos puntos de navegación:

1. 4-vectores$x^{\mu}$se realizan como hermitianos$2\times 2$matrices

   $${\bf x}~=~\begin{pmatrix}x^{1\dot{1}} & x^{1\dot{2}}\cr x^{2\dot{1}} & x^{2\dot{2}} \end{pmatrix}~=~x^{\mu}\bar{\sigma}_{\mu},\qquad \bar{\sigma}_{\mu} ~=~(1,\vec{\sigma})~=~\sigma^{\mu}, \tag{1}$$ con componentes$^1$ $$x^{\alpha\dot{\alpha}}~=~ x^{\mu} (\bar{\sigma}_{\mu})^{\alpha\dot{\alpha}}, \qquad x^{\mu}~=~\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma^{\mu}{\bf x}) ~=~\frac{1}{2}(\sigma^{\mu})_{\dot{\alpha}\alpha} x^{\alpha\dot{\alpha}}, \tag{2}$$ cf. esta publicación Phys.SE.

2. La forma cuadrática de la métrica de Minkowski$(+,-,-,-)$se convierte en el determinante

   $$||x||^2~=~x^{\mu}\eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~x^{\alpha\dot{\alpha}}\eta_{\dot{\alpha}\alpha,\dot{\beta}\beta}x^{\beta\dot{\beta}} ~=~\det({\bf x}), \tag{3}$$ $$2\eta_{\dot{\alpha}\alpha,\dot{\beta}\beta} ~=~\frac{1}{2}(\sigma^{\mu})_{\alpha\dot{\alpha}} \eta_{\mu\nu}(\sigma^{\nu})_{\beta\dot{\beta}} ~=~ \epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}\epsilon_{\alpha\beta} ~=~ \delta_{\dot{\alpha}\alpha}\delta_{\dot{\beta}\beta} -\delta_{\dot{\alpha}\beta}\delta_{\dot{\beta}\alpha}.\tag{4}$$ En la segunda igualdad de la ec. (4) hemos probado una relación identidad / completitud de Fierz para las matrices de Pauli.

3. El producto interno de Minkowski se determina a partir de la forma cuadrática (3) mediante polarización

   $$\langle x, y \rangle~=~x^{\mu}\eta_{\mu\nu}y^{\nu} ~=~x^{\alpha\dot{\alpha}}\eta_{\dot{\alpha}\alpha,\dot{\beta}\beta}y^{\beta\dot{\beta}} ~=~ -\frac{1}{2}{\rm tr}({\bf x}\epsilon{\bf y}^t\epsilon) ~=~\frac{1}{4}\sum_{\pm}|| x \pm y ||^2. \tag{5}$$

4. Elementos del grupo de mentiras$g\in SL(2,\mathbb{C})$actuar en hermitiano$2\times 2$matrices como

   $${\bf x}^{\prime}~=~g{\bf x}g^{\dagger},\qquad x^{\prime \alpha\dot{\alpha}}~=~g^{\alpha}{}_{\beta} ~x^{\beta\dot{\beta}}(g^{\dagger})_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\alpha}}. \tag{6}$$

5. Dado que el determinante se conserva claramente en la ec. (6),

   $$||x^{\prime}||^2~\stackrel{(2)}{=}~\det({\bf x}^{\prime})~\stackrel{(4)}{=}~\det(g{\bf x}g^{\dagger})~=~\det({\bf x})~\stackrel{(2)}{=}~||x||^2, \tag{7}$$ la transformación (6) corresponde a una transformación de Lorentz $$x^{\prime \mu}~=~\Lambda^{\mu}{}_{\nu} ~x^{\nu} , \qquad \Lambda^{\mu}{}_{\nu}~=~\frac{1}{2}{\rm tr}(\sigma^{\mu}g\bar{\sigma}_{\nu}g^{\dagger}), \qquad \Lambda~\in~O(1,3).\tag{8}$$ De hecho, se puede demostrar que la transformación de Lorentz$\Lambda\in SO^+(1,3)$Pertenece al grupo restringido de Lorentz .

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$^1$Tenga en cuenta que diferentes autores utilizan diferentes convenciones. Aquí, las matrices sigma sin barras (barras) tienen un índice de fila punteado (sin puntos) y un índice de columna sin puntos (punteado), respectivamente, que suele ser al revés, cf. por ejemplo, A. Zee, QFT en pocas palabras, y MD Schwartz, QFT & SM.