Publicación relacionada ¿Podemos "trivializar" la equivalencia entre la cuantización canónica de campos y la segunda cuantización de partículas?
Algunos libros de física de muchos cuerpos, por ejemplo, ALFetter y JDWalecka en la teoría cuántica de sistemas de muchas partículas , afirman que a un nivel no relativista, la mecánica cuántica (QM) y la teoría cuántica de campos (QFT) son equivalentes. Demostraron los segundos operadores cuantizados
podría obtener los mismos elementos de matriz que los "primeros cuantificados". Aquí y representan operadores cinéticos y de interacción, respectivamente.
Sin embargo, un libro, H. Umezawa et al. Termodinámica de campo y estados condensados en el capítulo 2, afirmó que incluso a un nivel no relativista, QFT no es equivalente a QM. Usaron una serie de derivaciones (demasiado largas para presentarlas aquí, puedo agregar algunos pasos si es necesario), demostraron que la transformación de Bogoliubov con un volumen de espacio infinito produce representaciones unitarias no equivalentes. En QM, todas las representaciones son equivalentes unitarias. Por lo tanto, QM y QFT no relativista no son equivalentes. Sin embargo, como dijeron en p32
Esto podría sugerir que, en realidad, la inequivalencia unitaria mencionada anteriormente puede no ocurrir porque todo sistema tiene un tamaño finito. Sin embargo, este punto de vista parece demasiado optimista. Para considerar un sistema estacionario de tamaño finito, debemos considerar seriamente los efectos de la frontera. Como se mostrará en capítulos posteriores, algunos modos colectivos del sistema mantienen este límite y se comporta como un objeto macroscópico con una superficie singular, que a su vez tiene un número infinito de grados de libertad.
Sin embargo, Surface es un concepto idealizado. En realidad, el límite entre dos fases es un microscópico cambio gradual de distribución de núcleos y electrones. Mi pregunta es, ¿es el argumento de la singularidad de la superficie de Umezawa et al una cuestión puramente académica? El problema académico aquí significa que si tengo suficiente poder computacional, calculo todos los electrones y núcleos mediante mecánica cuántica, podría muy bien reproducir los resultados experimentales hasta las correcciones relativistas.
PS La terminología "segunda cuantificación" puede no ser apropiada, ya que cuantificamos el sistema solo una vez. Sin embargo, podría vivir con ello.
"Ellos [...] demostraron que la transformación de Bogoliubov con un volumen de espacio infinito produce representaciones unitarias no equivalentes". Sí, este es un efecto importante y la fuente de fenómenos como las transiciones de fase y la superconductividad. El límite isotrópico del volumen del espacio infinito se llama límite termodinámico. Figura en todas partes en la derivación de la termodinámica clásica de la mecánica estadística clásica o cuántica y borra todos los efectos superficiales.
¡Sin límite termodinámico, no habría transiciones de fase! La mecánica estadística de un sistema con un número finito de partículas siempre conduce a una ecuación de estado sin discontinuidades en las funciones de respuesta. Estos últimos (es decir, las transiciones de fase en el sentido de la termodinámica) aparecen sólo en el límite termodinámico. (De hecho, un sistema puede definirse como macroscópico si el límite termodinámico es una idealización adecuada. Tenga en cuenta que el número de Avogadro está bien aproximado por el infinito.)
La equivalencia con la mecánica cuántica ordinaria sugerida por la derivación de la segunda cuantización solo se mantiene en un número fijo de partículas. Pero la teoría cuántica de campos es la formulación en un número indefinido de partículas. Esto ya requiere (incluso sin el límite termodinámico e independiente de los efectos de superficie) un espacio de Hilbert con un número infinito de grados de libertad, donde las relaciones canónicas de conmutación tienen infinitas representaciones unitarias no equivalentes.
Juanrga