Siempre hay una respuesta básica a esta pregunta: escriba el complejo bosón/fermión en términos de bosón/fermión real ($a=a_R+i a_I$, etc), conéctelo y luego diagonalícelo mediante matrices ortogonales. Esta es probablemente la forma más natural de hacerlo para los sistemas que no conservan partículas.

Si uno insiste en hacerlo en términos de bosón/fermión complejo, todavía es posible, pero muchas veces molesto. Esto se debe a que uno (genéricamente) también necesita transformar dentro de la parte real e imaginaria de las variables, lo que obliga a duplicar el tamaño de la matriz para incluir$( a,a^{\dagger},b,b^{\dagger})^T$todos juntos, como el espinor de Nambu cuando se resuelve el hamiltoniano de campo medio de los superconductores. La parte molesta es que hay que cuidar la redundancia en los componentes de la matriz.

Hay dos métodos para abordar este problema:

1. Como se señaló en la respuesta de Yen-Ta Huang y también en la respuesta de Everett You (EY16) a esta pregunta relacionada , podemos dividir los operadores de creación y aniquilación en una parte real y otra imaginaria.
2. Como se insinúa en (Capri, 2002; pg448), podemos generalizar la transformada de Bogoliubov para trabajar con hamiltonianos complejos.

Aquí haré un ejemplo simple con el siguiente hamiltoniano fermiónico :

$$H=\varepsilon c_1^\dagger c_1+\varepsilon c_2^\dagger c_2+\lambda i(c_1^\dagger c_2^\dagger-c_2c_1)\tag{1}$$

Método 1

Dejamos:

$$c_j=a_j+i b_j\quad \text{for}\quad j=1,2 \tag{2}$$ dónde$a_j^\dagger=a_j$y$b_j^\dagger=b_j$. Como se muestra en EY16 para$a_j$y$b_j$tenemos las siguientes relaciones de conmutación $$\{a_j,a_j\}=\{b_j,b_j\}=1$$ $$\{a_1,a_2\}=\{b_1,b_2\}=\{a_i,b_j\}=0$$ Así sustituyendo (2) en (1) obtenemos que (después de un poco de álgebra): $$H=2i (\varepsilon a_1b_1+\varepsilon a_2 b_2+\lambda a_1 a_2-\lambda b_1 b_2)$$ $$=2i\begin{pmatrix} a_1 &b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varepsilon & \lambda \\ \lambda &\varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}$$ Como se explicó en EY16, una transformación de Bogoliubov de$a_j$y$b_j$es una transformación ortogonal en el caso de los fermiones. Así si dejamos: $$\begin{pmatrix} b_1 \\ a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1 \\ d_2\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ e_2\end{pmatrix}$$ con los nuevos operadores fermiónicos de creación y aniquilación dados por$f_j=d_j+ie_j$con una adecuada elección de$\theta$esto diagonalizará el hamiltoniano

Método 2

En el método 2, simplemente generalizamos la transformación de Bogoliubov. Considere la transformación:

$$f_j=u_jc_j+v_j c_j^\dagger$$ necesitamos hacer cumplir las condiciones que: $$\{f_i,f_j\}=0, \quad \{ f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}$$ Si hacemos esto obtenemos que necesitamos: $$u_1v_2+u_2v_1=0\tag{3}$$ y $$|u_j|^2+|v_j|^2=1\tag{4}$$ (4) implica que tenemos: $$u_j=\cos(\theta_j) e^{i\phi_j^u}\quad v_j=\sin(\theta_j) e^{i\phi_j^v}$$ mientras que con estos (3) implica que: $$\cos(\theta_1)\sin(\theta_2)=-\cos(\theta_2) \sin(\theta_1),\quad \phi_1^u+\phi_2^v=\phi_2^u+\phi_1^v$$ Juntando estos, la transformación general de Bololiubov de los operadores fermiónicos es:

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cos(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p)\\ -e^{-i\tilde \phi_3}\sin(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cos(\theta_p) \end{pmatrix}$$ El método estándar de la transformación de Bololiubov se puede seguir con esto.

Como referencia, la transformación general de Bololiubov para bosones es (según mis cálculos:

$$e^{i\tilde \phi_1} \begin{pmatrix}e^{i\tilde \phi_2} \cosh(\theta_p) & e^{i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p)\\ e^{-i\tilde \phi_3}\sinh(\theta_p) & e^{-i\tilde \phi_2}\cosh(\theta_p) \end{pmatrix}$$